已知 a, b, c 都是正数，且 a^ 3 2 + b^…——2022 高考数学第 23 题答案解析

① 由 $a, b, c > 0$，根据三元均值不等式（AM-GM）：
$$ \frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}}}{3} \geq \sqrt[3]{a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{3}{2}} c^{\frac{3}{2}}} $$
代入已知条件 $a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}} = 1$，得：
$$ \frac{1}{3} \geq \sqrt[3]{(abc)^{\frac{3}{2}}} = (abc)^{\frac{1}{2}} $$
两边平方，得：
$$ \frac{1}{9} \geq abc $$
即 $abc \leq \frac{1}{9}$。
当且仅当 $a^{\frac{3}{2}} = b^{\frac{3}{2}} = c^{\frac{3}{2}}$，即 $a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ 时等号成立。

② 因为 $a, b, c > 0$，由基本不等式可知：
$$ b+c \geq 2\sqrt{bc}, \quad a+c \geq 2\sqrt{ac}, \quad a+b \geq 2\sqrt{ab} $$
所以：
$$ \frac{a}{b+c} \leq \frac{a}{2\sqrt{bc}} = \frac{a \cdot \sqrt{a}}{2\sqrt{abc}} = \frac{a^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}} $$
同理可得：
$$ \frac{b}{a+c} \leq \frac{b^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}, \quad \frac{c}{a+b} \leq \frac{c^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}} $$
将上述三式相加：
$$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \leq \frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}} $$
代入已知条件 $a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}} = 1$，得：
$$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \leq \frac{1}{2\sqrt{abc}} $$
当且仅当 $a=b=c$ 时等号成立。