（2014）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹…——2014 高考数学第 6 题答案解析

**第一题**

设圆锥底面半径为 $r$，母线长为 $l$。

圆锥侧面积 $S_{\text{侧}} = \pi r l$，底面积 $S_{\text{底}} = \pi r^2$。

由题意 $S_{\text{侧}} = 3S_{\text{底}}$，得：
$$\pi r l = 3\pi r^2$$

化简得 $l = 3r$。

设母线与底面所成角为 $\theta$，在圆锥的轴截面中，母线、底面半径和高构成直角三角形，因此：
$$\cos\theta = \frac{r}{l} = \frac{r}{3r} = \frac{1}{3}$$

故母线与底面夹角的大小为 $\arccos\dfrac{1}{3}$。

**第二题**

曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho(3\cos\theta - 4\sin\theta) = 1$。

利用极坐标与直角坐标的转换关系 $x = \rho\cos\theta$，$y = \rho\sin\theta$，将方程展开：
$$3\rho\cos\theta - 4\rho\sin\theta = 1$$

化为直角坐标方程：
$$3x - 4y = 1$$

曲线 $C$ 与极轴的交点即与 $x$ 轴的交点，令 $y = 0$：
$$3x = 1 \implies x = \frac{1}{3}$$

交点坐标为 $\left(\dfrac{1}{3}, 0\right)$，该点到极点（原点）的距离为 $\dfrac{1}{3}$。