2016_新课标I Paper
11．（14 分）如图，两固定的绝缘斜面倾角均为 θ，上沿相连。两细金属棒 ab（仅标出a端）和cd（仅标出c端）长度均为L，质量分别为 2m和m；用两根不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路abdca，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平。右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上，已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为R，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g，已知金属棒ab匀速下滑。求
（1）作用在金属棒ab上的安培力的大小；
（2）金属棒运动速度的大小。
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（1）设导线对金属棒的拉力大小为 $T$。
对右侧斜面上的金属棒 ab 进行受力分析：
ab 棒质量为 $2m$，受重力、支持力 $N_1$、摩擦力 $f_1$、安培力 $F$ 和导线拉力 $T$。
垂直斜面方向平衡：$N_1 = 2mg\cos\theta$
沿斜面方向，ab 棒匀速下滑，故合力为零。由于 ab 质量较大且向下运动，摩擦力 $f_1$ 沿斜面向上，安培力 $F$ 阻碍相对运动也沿斜面向上，拉力 $T$ 沿斜面向上。
平衡方程为：$2mg\sin\theta = T + f_1 + F$
其中 $f_1 = \mu N_1 = 2\mu mg\cos\theta$
即：$2mg\sin\theta = T + 2\mu mg\cos\theta + F$ ……①
对左侧斜面上的金属棒 cd 进行受力分析：
cd 棒质量为 $m$，受重力、支持力 $N_2$、摩擦力 $f_2$ 和导线拉力 $T$。
垂直斜面方向平衡：$N_2 = mg\cos\theta$
由于 ab 下滑，cd 被拉动沿斜面上滑，故摩擦力 $f_2$ 沿斜面向下。
沿斜面方向平衡方程为：$T = mg\sin\theta + f_2$
其中 $f_2 = \mu N_2 = \mu mg\cos\theta$
即：$T = mg\sin\theta + \mu mg\cos\theta$ ……
将②式代入①式，消去 $T$：
$2mg\sin\theta = (mg\sin\theta + \mu mg\cos\theta) + 2\mu mg\cos\theta + F$
解得安培力大小：
$F = mg\sin\theta - 3\mu mg\cos\theta = mg(\sin\theta - 3\mu\cos\theta)$
（2）ab 棒切割磁感线产生的感应电动势为：
$E = BLv$
回路中的感应电流为：
$I = \frac{E}{R} = \frac{BLv}{R}$
ab 棒受到的安培力大小为：
$F = BIL = \frac{B^2 L^2 v}{R}$
联立第（1）问中求得的安培力表达式：
$\frac{B^2 L^2 v}{R} = mg(\sin\theta - 3\mu\cos\theta)$
解得金属棒运动速度的大小：
$v = \frac{mgR(\sin\theta - 3\mu\cos\theta)}{B^2 L^2}$