如图，在棱长为 2 的正方体 A B C D-A_ 1 B…——2021 高考数学第 17 题答案解析

以 $A$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA_1}$ 的方向为 $x, y, z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系。
由题意可得各点坐标：$A(0,0,0), A_1(0,0,2), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), C_1(2,2,2), D_1(0,2,2)$。
因为 $E, F$ 分别为 $BC, CD$ 的中点，所以 $E(2,1,0), F(1,2,0)$。

（I）计算向量：
$\overrightarrow{D_1F} = (1-0, 2-2, 0-2) = (1, 0, -2)$，
$\overrightarrow{A_1C_1} = (2, 2, 0)$，
$\overrightarrow{A_1E} = (2, 1, -2)$。

设平面 $A_1EC_1$ 的法向量为 $\vec{n} = (x, y, z)$，则：
$\begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{A_1C_1} = 2x + 2y = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{A_1E} = 2x + y - 2z = 0 \end{cases}$
取 $x=2$，解得 $y=-2, z=1$，故平面 $A_1EC_1$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (2, -2, 1)$。

因为 $\overrightarrow{D_1F} \cdot \vec{n} = 1\times2 + 0\times(-2) + (-2)\times1 = 0$，所以 $\overrightarrow{D_1F} \perp \vec{n}$。
又因为 $D_1F \not\subset$ 平面 $A_1EC_1$，所以 $D_1F // $ 平面 $A_1EC_1$。

（II）$\overrightarrow{AC_1} = (2, 2, 2)$。
设直线 $AC_1$ 与平面 $A_1EC_1$ 所成的角为 $\theta$，则：
$\sin \theta = |\cos \langle \vec{n}, \overrightarrow{AC_1} \rangle| = \frac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC_1}|}{|\vec{n}| |\overrightarrow{AC_1}|}$
其中 $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC_1} = 2\times2 + (-2)\times2 + 1\times2 = 2$，
$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$，
$|\overrightarrow{AC_1}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = 2\sqrt{3}$。
所以 $\sin \theta = \frac{2}{3 \times 2\sqrt{3}} = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}$。

（III）平面 $AA_1C_1$ 即平面 $ACC_1A_1$，其法向量可取底面正方形对角线方向向量 $\overrightarrow{DB}$（或 $\overrightarrow{BD}$）。
$\overrightarrow{DB} = (2-0, 0-2, 0-0) = (2, -2, 0)$。
设二面角 $A-A_1C_1-E$ 的平面角为 $\alpha$，则 $|\cos \alpha| = |\cos \langle \vec{n}, \overrightarrow{DB} \rangle|$。
$\vec{n} \cdot \overrightarrow{DB} = 2\times2 + (-2)\times(-2) + 1\times0 = 8$，
$|\overrightarrow{DB}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{2}$。
所以 $|\cos \alpha| = \frac{8}{3 \times 2\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$。
则 $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{8}{9}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$。