Line-Plane Angle　·　历年高考数学真题与解析

7．已知正三棱台 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{52}{3}, A B=6, A_{1} B_{1}=2$ ，则 $A_{1} A$ 与平面 $A B C$ 所成角的正切值为

9．已知 $\triangle A B C$ 为等腰直角三角形，$A B$ 为斜边，$\triangle A B D$ 为等边三角形，若二面角 $C-A B-D$ 为 $150^{\circ}$ ，则直线 $C D$ 与平面 $A B C$ 所成角的正切值为（ ）

17．如图，在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 为正方形，平面 $B C C_{1} B_{1} \perp$ 平面 $A B B_{1} A_{1}, A B=B C=2, M, N$ 分别为 $A_{1} B_{1}, A C$ 的中点．

（1）求证：$M N / /$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 $A B$ 与平面 $B M N$ 所成角的正弦值．

条件①：$A B \perp M N$ ；

条件②：$B M=M N$ ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。

18．在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P D \perp$ 底面 $A B C D, C D / / A B, A D=D C=C B=1, A B=2, D P=\sqrt{3}$ ．

（1）证明：$B D \perp P A$ ；
（2）求 $P D$ 与平面 $P A B$ 所成的角的正弦值．

19．如图，已知 $A B C D$ 和 $C D E F$ 都是直角梯形，$A B / / D C, D C / / E F, A B=5, D C=3$ ， $E F=1, \angle B A D=\angle C D E=60^{\circ}$ ，二面角 $F-D C-B$ 的平面角为 $60^{\circ}$ ．设 $M, N$ 分别为 $A E, B C$ 的中点．

（1）证明：$F N \perp A D$ ；
（2）求直线 $B M$ 与平面 $A D E$ 所成角的正弦值．

7．在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $B_{1} D$ 与平面 $A B C D$ 和平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成的角均为 $30^{\circ}$ ，则（）

8．如图，已知正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}, A C=A A_{1}, E, F$ 分别是棱 $B C, A_{1} C_{1}$ 上的点．记 $E F$ 与 $A A_{1}$ 所成的角为 $\alpha, E F$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $\beta$ ，二面角 $F-B C-A$ 的平面角为 $\gamma$ ，则（）

9．已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，则

9．在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $B_{1} D$ 与平面 $A B C D$ 和平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成的角均为 $30^{\circ}$ ，则（）

17.

如图，在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E$ 为棱 $B C$ 的中点，$F$ 为棱 $C D$ 的中点

（I）求证：$D_{1} F / /$ 平面 $A_{1} E C_{1}$ ；
（II）求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} E C_{1}$ 所成角的正弦值．
（III）求二面角 $A-A_{1} C_{1}-E$ 的正弦值．

17．（14分）四棱锥 $P-A B C D$ ，底面为正方形 $A B C D$ ，边长为4，$E$ 为 $A B$ 中点，$P E \perp$平面 $A B C D$ 。
（1）若 $\triangle P A B$ 为等边三角形，求四棱锥 $P-A B C D$ 的体积；
（2）若 $C D$ 的中点为 $F, ~ P F$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $45^{\circ}$ ，求 $P C$ 与 $A D$ 所成角的大小．

【思路分析】（1）由 $V=\frac{1}{3} P E \cdot S_{\text {正方形 } A B C D}$ ，代入相应数据，进行运算，即可；
②由 $P E \perp$ 平面 $A B C D$ ，知 $\angle P F E=45^{\circ}$ ，进而有 $P E=F E=4, ~ P B=2 \sqrt{5}$ ，由
$A D / / B C$ ，知 $\angle P C B$ 或其补角即为所求，可证 $B C \perp$ 平面 $P A B$ ，从而有 $B C \perp P B$ ，最后在 Rt $\triangle \mathrm{PBC}$ 中，由 $\tan \angle P C B=\frac{P B}{B C}$ ，得解．

16．如图，在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E$ 为 $B B_{1}$ 的中点．

（I）求证：$B C_{1} / /$ 平面 $A D_{1} E$ ；
（II）求直线 $A A_{1}$ 与平面 $A D_{1} E$ 所成角的正弦值．

19．如图，三棱台 $D E F-A B C$ 中，面 $A D F C \perp$ 面 $A B C, \angle A C B=\angle A C D=45^{\circ}, D C=2 B C$ ．
（ I ）证明：$E F \perp D B$ ；
（II）求 $D F$ 与面 $D B C$ 所成角的正弦值．

20．如图，已知三棱柱 $A B C$－
$A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是正三角形，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 是矩形，$M, N$ 分别为 $B C, B_{1} C_{1}$ 的中点，$P$ 为 $A M$ 上一点，过 $B_{1} C_{1}$ 和 $P$ 的平面交 $A B$ 于 $E$ ，交 $A C$ 于 $F$ ．

（1）证明：$A A_{1} / / M N$ ，且平面 $A_{1} A M N \perp E B_{1} C_{1} F$ ；
（2）设 $O$ 为 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$ 的中心，若 $A O / /$ 平面 $E B_{1} C_{1} F$ ，且 $A O=A B$ ，求直线 $B_{1} E$ 与平面 $A_{1} A M N$ 所成角的正弦值．

20．如图，四棱锥 $P-A B C D$ 的底面为正方形，$P D \perp$ 底面 $A B C D$ ．设平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ．

（1）证明：$l \perp$ 平面 $P D C$ ；
（2）已知 $P D=A D=1, Q$ 为 $l$ 上的点，求 $P B$ 与平面 $Q C D$ 所成角的正弦值的最大值．

4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间。把地球看成一个球（球心记为 $O$ ），地球上一点 $A$ 的纬度是指 $O A$ 与地球赤道所在平面所成角，点 $A$ 处的水平面是指过点 $A$ 且与 $O A$ 垂直的平面。在点 $A$ 处放置一个日㬍，若暑面与赤道所在平面平行，点 $A$ 处的纬度为北纬 $40^{\circ}$ ，则晷针与点 $A$ 处的水平面所成角为

17．如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，$\triangle P C D$ 为等边三角形，平面 $P A C \perp$ 平面 $P C D, P A \perp C D, C D=2, A D=3$ ，

（I）设 $G, H$ 分别为 $P B, A C$ 的中点，求证：$G H / /$ 平面 $P A D$ ；
（II）求证：$P A \perp$ 平面 $P C D$ ；
（III）求直线 $A D$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值．

19．如图，已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ ，平面 $A_{1} A C_{1} C \perp$ 平面 $A B C, \angle A B C=90^{\circ}$ ， $\angle B A C=30^{\circ}, A_{1} A=A_{1} C=A C, E, F$ 分别是 $A C, A_{1} B_{1}$ 的中点．

（1）证明：$E F \perp B C$ ；
（2）求直线 $E F$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的余弦值．

8．设三棱锥 $V-A B C$ 的底面是正三角形，侧棱长均相等，$P$ 是棱 $V A$ 上的点（不含端点），记直线 $P B$ 与直线 $A C$ 所成角为 $\alpha$ ，直线 $E$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $\beta$ ，二面角 $P-A C-B$ 的平面角为 $\gamma$ ，则（）

10．（5分）在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=B C=2, A C_{1}$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成的角为 $30^{\circ}$ ，则该长方体的体积为（ ）

12．（5分）已知正方体的棱长为 1 ，每条棱所在直线与平面 $\alpha$ 所成的角都相等，则 $\alpha$ 截此正方体所得截面面积的最大值为（）

16．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 $\frac{7}{8}$ ，SA 与圆锥底面所成角为 $45^{\circ}$ ，若 $\triangle S A B$ 的面积为 $5 \sqrt{15}$ ，则该圆锥的侧面积为 $40 \sqrt{2} \pi$

18．（15分）（2016•浙江）如图，在三棱台 $\mathrm{ABC}-\mathrm{DEF}$ 中，平面 $\mathrm{BCFE} \perp$ 平面 ABC ， $\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}, \mathrm{BE}=\mathrm{EF}=\mathrm{FC}=1, \mathrm{BC}=2, \mathrm{AC}=3$ ．
（I）求证： $\mathrm{BF} \perp$ 平面 ACFD ；
（II）求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值。

18．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 中， $\mathrm{AD} / / \mathrm{BC}, \angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{PAB}=90^{\circ}, \mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\frac{1}{2} \mathrm{AD}, \mathrm{E}$ 为边 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 $90^{\circ}$。
（I）在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 $\mathrm{CM} / /$ 平面 PBE，．并说明理由；
（II）若二面角 $P-C D-A$ 的大小为 $45^{\circ}$，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值．

6．如图，在正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 的边长为 $3, B D_{1}$ 与底面所成的角的大小为 $\arctan \frac{2}{3}$ ，则该正四棱柱的高等于 $\_\_\_\_$ ．

19、（本题满分12分）如图，在长方体 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 中， $\mathrm{AA}_{1}=1, \mathrm{AB}=\mathrm{AD}=2$
， $\mathrm{E} , \mathrm{~F}$ 分别是 $\mathrm{AB} , \mathrm{BC}$ 的中点．证明 $\mathrm{A}_{1} , \mathrm{C}_{1} , \mathrm{~F} , \mathrm{E}$ 四点共面，并求直线 $\mathrm{CD}_{1}$ 与平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{FE}$ 所成的角的大小．

8．如图，在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $O$ 为线段 $B D$ 的中点．设点 $P$ 在线段 $C C_{1}$ 上，直线 $O P$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成的角为 $\alpha$ ，则 $\sin \alpha$ 的取值范围是（）

10．（5分）已知正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A A_{1}=2 A B$ ，则 $C D$ 与平面 $B D C_{1}$ 所成角的正弦值等于（ ）

11．（5分）已知正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A A_{1}=2 A B$ ，则 $C D$ 与平面 $B D C_{1}$ 所成角的正弦值等于（ ）

19．（本小题满分 12 分）
如图5，在直棱柱
$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A D / / B C, \angle B A D=90^{\circ}, A C \perp B D, B C=1, A D=A A_{1}=3$．
（I）证明：$A C \perp B_{1} D$；
（II）求直线 $B_{1} C_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的正弦值。

图5

19．（本小题满分 13 分）
如图，在四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} \perp$ 底面 $A B C D$，
$A B / / D C, A A_{1}=1, A B=3 k, A D=4 k, B C=5 k, D C=6 k,(k>0)$
（1）求证：$C D \perp$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$
（2）若直线 $A A_{1}$ 与平面 $A B_{1} C$ 所成角的正弦值为 $\frac{6}{7}$，求 $k$ 的值
（3）现将与四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 $f(k)$，写出 $f(k)$ 的解析式。（直接写出答案，不必说明理由）

4、已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面垂直，体积为 $\frac{9}{4}$ ，底面是边长为 $\sqrt{3}$ 的正三角形，若 $P$ 为底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的中心，则 $P A$ 与平面 $A B C$ 所成角的大小为

10．直线 $y=k x+3$ 与圆 $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=4$ 相交于 $M , N$ 两点，若 $|M N| \geqslant 2 \sqrt{3}$ ，则 $k$ 的取值范围是

7．（5分）正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$B B_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的余弦值为（

8．（5分）已知三棱锥 $S-A B C$ 中，底面 $A B C$ 为边长等于 2 的等边三角形，$S A$ 垂直于底面 $A B C, S A=3$ ，那么直线 $A B$ 与平面 $S B C$ 所成角的正弦值为（）

9．（5分）正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$B B_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的余弦值为（

5．（2009 浙江理 5）在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点 $D$ 是侧面 $B B_{1} C_{1} C$的中心，则 $A D$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的大小是（ ）

（6）如图，已知六棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCDEF}$ 的底面是正六边形， $\mathrm{PA} \perp$ 平面 $\mathrm{ABC}, \mathrm{PA}=2 \mathrm{AB}$ ，则下列结论正确的是

11．（5分）已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面边长都相等，$A_{1}$ 在底面 $A B C$ 内的射影为 $\triangle A B C$ 的中心，则 $A B_{1}$ 与底面 $A B C$ 所成角的正弦值等于（）

11．（5分）已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面边长都相等，$A_{1}$ 在底面 $A B C$ 内的射影为 $\triangle A B C$ 的中心，则 $A B_{1}$ 与底面 $A B C$ 所成角的正弦值等于