已知 f(x)=a x- sin x cos ^ 3 x…——2023 高考数学第 21 题答案解析

（1）当 $a=8$ 时，$f(x)=8 x-\frac{\sin x}{\cos ^{3} x}$。
求导得：
$$ \begin{aligned} f^{\prime}(x) &= 8 - \frac{\cos x \cdot \cos^3 x - \sin x \cdot 3\cos^2 x \cdot (-\sin x)}{\cos^6 x} \\ &= 8 - \frac{\cos^4 x + 3\sin^2 x \cos^2 x}{\cos^6 x} \\ &= 8 - \frac{\cos^2 x + 3\sin^2 x}{\cos^4 x} \\ &= 8 - \frac{1 + 2\sin^2 x}{\cos^4 x} \end{aligned} $$
利用 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$，化简分子为 $1 + 2(1-\cos^2 x) = 3 - 2\cos^2 x$。
令 $t = \cos^2 x$，因为 $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$，所以 $t \in (0, 1)$。
则 $f^{\prime}(x)$ 可表示为关于 $t$ 的函数：
$$ h(t) = 8 - \frac{3-2t}{t^2} = \frac{8t^2 + 2t - 3}{t^2} $$
对分子因式分解：$8t^2 + 2t - 3 = (2t-1)(4t+3)$。
因为 $t \in (0, 1)$，所以 $4t+3 > 0$，$t^2 > 0$。
$f^{\prime}(x)$ 的符号由 $2t-1$ 决定：
当 $2t-1 > 0$，即 $t > \frac{1}{2}$ 时，$f^{\prime}(x) > 0$。
此时 $\cos^2 x > \frac{1}{2} \Rightarrow \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow 0 < x < \frac{\pi}{4}$。
当 $2t-1 < 0$，即 $t < \frac{1}{2}$ 时，$f^{\prime}(x) < 0$。
此时 $\cos^2 x < \frac{1}{2} \Rightarrow \cos x < \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$。

综上，$f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递减。

（2）不等式 $f(x) < \sin 2x$ 恒成立，等价于 $g(x) = f(x) - \sin 2x < 0$ 在 $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上恒成立。
注意到 $\lim_{x \to 0^+} g(x) = 0 - 0 = 0$。若 $g(x)$ 在定义域内单调递减，则 $g(x) < g(0) = 0$ 成立。

求 $g(x)$ 的导数：
$$ g^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - 2\cos 2x $$
由（1）知 $f^{\prime}(x) = a - \frac{3-2\cos^2 x}{\cos^4 x}$。
又 $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$。
令 $t = \cos^2 x, t \in (0, 1)$，则：
$$ \begin{aligned} g^{\prime}(x) &= a - \frac{3-2t}{t^2} - 2(2t-1) \\ &= a - \frac{3}{t^2} + \frac{2}{t} - 4t + 2 \\ &= a + 2 - 4t + \frac{2}{t} - \frac{3}{t^2} \end{aligned} $$
设 $\varphi(t) = a + 2 - 4t + \frac{2}{t} - \frac{3}{t^2}, t \in (0, 1)$。
对 $\varphi(t)$ 求导：
$$ \varphi^{\prime}(t) = -4 - \frac{2}{t^2} + \frac{6}{t^3} = \frac{-4t^3 - 2t + 6}{t^3} $$
令 $u(t) = -4t^3 - 2t + 6$，则 $u^{\prime}(t) = -12t^2 - 2 < 0$，故 $u(t)$ 在 $(0, 1)$ 单调递减。
$u(1) = -4 - 2 + 6 = 0$。
所以当 $t \in (0, 1)$ 时，$u(t) > u(1) = 0$。
从而 $\varphi^{\prime}(t) > 0$ 在 $t \in (0, 1)$ 上恒成立。
即 $\varphi(t)$ 在 $(0, 1)$ 上单调递增。
所以 $\varphi(t) < \lim_{t \to 1^-} \varphi(t) = a + 2 - 4 + 2 - 3 = a - 3$。
即 $g^{\prime}(x) < a - 3$。

① 当 $a \le 3$ 时：
$g^{\prime}(x) < a - 3 \le 0$。
所以 $g(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递减。
故 $g(x) < \lim_{x \to 0^+} g(x) = 0$，即 $f(x) < \sin 2x$ 恒成立，符合题意。

② 当 $a > 3$ 时：
$\lim_{t \to 0^+} \varphi(t) = -\infty$（因为 $-\frac{3}{t^2}$ 趋向负无穷的速度快于 $\frac{2}{t}$），且 $\lim_{t \to 1^-} \varphi(t) = a - 3 > 0$。
由零点存在定理及 $\varphi(t)$ 的单调性可知，存在唯一的 $t_0 \in (0, 1)$，使得 $\varphi(t_0) = 0$。
当 $t \in (t_0, 1)$ 时，$\varphi(t) > 0$，即 $g^{\prime}(x) > 0$。
对应 $x$ 的范围：
$t = \cos^2 x$，$\cos^2 x \in (t_0, 1) \iff \cos x \in (\sqrt{t_0}, 1) \iff x \in (0, x_0)$，其中 $x_0 = \arccos\sqrt{t_0}$。
所以在区间 $(0, x_0)$ 上，$g^{\prime}(x) > 0$，$g(x)$ 单调递增。
故当 $x \in (0, x_0)$ 时，$g(x) > \lim_{x \to 0^+} g(x) = 0$。
这与 $g(x) < 0$ 恒成立矛盾，不合题意。

综上所述，$a$ 的取值范围是 $(-\infty, 3]$。