观察下列各式： C _ 1 ^ 0 = 4 ^ 0 C _…——2015 高考数学第 11 题答案解析

观察给定的等式序列：

当 $n=1$ 时，左边为 $C_1^0$，右边为 $4^0=1$，且 $C_1^0=1$，等式成立；
当 $n=2$ 时，左边为 $C_3^0 + C_3^1$，右边为 $4^1=4$，计算得 $1+3=4$，等式成立；
当 $n=3$ 时，左边为 $C_5^0 + C_5^1 + C_5^2$，右边为 $4^2=16$，计算得 $1+5+10=16$，等式成立；
当 $n=4$ 时，左边为 $C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3$，右边为 $4^3=64$，计算得 $1+7+21+35=64$，等式成立。

归纳上述规律，对于第 $n$ 个式子：
1. 组合数的下标为 $2n-1$。
2. 组合数的上标从 $0$ 递增到 $n-1$。
3. 等式右边的结果为 $4^{n-1}$。

因此，照此规律，所求式子 $\mathrm { C ^ { 0 } { } _ { 2 n - 1 } + C ^ { 1 } { } _ { 2 n - 1 } } + \mathrm { C ^ { 2 } { } _ { 2 n - 1 } + \ldots + C ^ { n - 1 } { } _ { 2 n - 1 } }$ 的值应为 $4^{n-1}$。

（注：也可通过二项式系数性质严谨推导。已知 $\sum_{k=0}^{2n-1} C_{2n-1}^k = 2^{2n-1}$。由对称性 $C_{2n-1}^k = C_{2n-1}^{2n-1-k}$，可知前一半项之和等于后一半项之和。即 $2 \sum_{k=0}^{n-1} C_{2n-1}^k = 2^{2n-1}$，故 $\sum_{k=0}^{n-1} C_{2n-1}^k = 2^{2n-2} = 4^{n-1}$。）