已知函数 f(x)=a ( e ^ x +a )-x ．…——2023 高考数学第 19 题答案解析

$f(x)=a(\mathrm e^x+a)-x=a\mathrm e^x+a^2-x$，定义域为 $\mathbb R$。

求导得
\[ f'(x)=a\mathrm e^x-1. \]

若 $a\le 0$，则 $a\mathrm e^x\le 0$，所以
\[ f'(x)=a\mathrm e^x-1<0 \]
恒成立，因此 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减。

若 $a>0$，令 $f'(x)=0$，得
\[ a\mathrm e^x=1 \quad\Rightarrow\quad \mathrm e^x=\frac1a \quad\Rightarrow\quad x=-\ln a. \]
当 $x<-\ln a$ 时，$\mathrm e^x<\frac1a$，故 $f'(x)<0$；
当 $x>-\ln a$ 时，$\mathrm e^x>\frac1a$，故 $f'(x)>0$。
因此 $f(x)$ 在 $(-\infty,-\ln a)$ 上单调递减，在 $(-\ln a,+\infty)$ 上单调递增。

当 $a>0$ 时，$f(x)$ 在 $x=-\ln a$ 处取得最小值：
\[ f(-\ln a)=a\left(\mathrm e^{-\ln a}+a\right)+\ln a = a\left(\frac1a+a\right)+\ln a =1+a^2+\ln a. \]
要证
\[ f(x)>2\ln a+\frac32, \]
只需证
\[ 1+a^2+\ln a>2\ln a+\frac32, \]
即
\[ a^2-\ln a-\frac12>0. \]

令
\[ g(a)=a^2-\ln a-\frac12\quad (a>0), \]
则
\[ g'(a)=2a-\frac1a=\frac{2a^2-1}{a}. \]
当 $0<a<\frac{\sqrt2}{2}$ 时，$g'(a)<0$；当 $a>\frac{\sqrt2}{2}$ 时，$g'(a)>0$。
所以 $g(a)$ 在 $\left(0,\frac{\sqrt2}{2}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\frac{\sqrt2}{2},+\infty\right)$ 上单调递增。

于是
\[ g(a)_{\min}=g\left(\frac{\sqrt2}{2}\right) =\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2-\ln\frac{\sqrt2}{2}-\frac12 =\frac12+\ln\sqrt2-\frac12 =\ln\sqrt2>0. \]
因此对任意 $a>0$，都有
\[ a^2-\ln a-\frac12>0. \]
从而
\[ f(x)\ge f(-\ln a)=1+a^2+\ln a>2\ln a+\frac32. \]
故当 $a>0$ 时，
\[ f(x)>2\ln a+\frac32. \]