（13分）已知等差数列 a _ n 和等比数列 b _ n…——2017 高考数学第 15 题答案解析

（Ⅰ）设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。
由已知 $a_1 = 1$，且 $a_2 + a_4 = 10$，
根据等差数列通项公式可得：
$(a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 10$
代入 $a_1=1$，得：
$(1 + d) + (1 + 3d) = 10$
$2 + 4d = 10$
解得 $d = 2$。
故 $\{a_n\}$ 的通项公式为：
$a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + 2(n-1) = 2n - 1$。

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 $a_5 = 2 \times 5 - 1 = 9$。
设等比数列 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$。
已知 $b_1 = 1$，且 $b_2 b_4 = a_5 = 9$。
根据等比数列性质，$b_2 b_4 = b_1 q \cdot b_1 q^3 = b_1^2 q^4 = q^4$（或者利用下标和性质 $b_2 b_4 = b_3^2$）。
即 $b_3^2 = 9$，解得 $b_3 = 3$ 或 $b_3 = -3$。
因为 $b_1 = 1 > 0$，且 $b_3 = b_1 q^2 = q^2$，而在实数范围内 $q^2 \ge 0$，所以 $b_3$ 必须为正数（若考虑复数通常高中不涉及，且由 $b_2 b_4 = b_1^2 q^4 = q^4 = 9 \implies q^2 = 3$ 直接得出更严谨）。
由 $b_3 = b_1 q^2$ 得 $q^2 = 3$。
所求和式为 $S = b_1 + b_3 + b_5 + \dots + b_{2n-1}$。
该数列的首项为 $b_1 = 1$。
相邻两项之比为 $\frac{b_{2k+1}}{b_{2k-1}} = \frac{b_1 q^{2k}}{b_1 q^{2k-2}} = q^2 = 3$。
因此，数列 $\{b_{2n-1}\}$ 是首项为 $1$，公比为 $3$ 的等比数列，共有 $n$ 项。
根据等比数列求和公式：
$S = \frac{1 \cdot (1 - 3^n)}{1 - 3} = \frac{1 - 3^n}{-2} = \frac{3^n - 1}{2}$。