（12分）（2009•陕西）已知函数f ( x ) = x…——2009 高考数学第 20 题答案解析

（1）对函数 $f(x) = x^3 - 3ax - 1$ 求导，得 $f'(x) = 3x^2 - 3a = 3(x^2 - a)$。

① 当 $a < 0$ 时，由于 $x^2 \ge 0$，则 $x^2 - a > 0$ 恒成立，即 $f'(x) > 0$ 对任意 $x \in \mathbb{R}$ 成立。
此时 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty, +\infty)$。

② 当 $a > 0$ 时，令 $f'(x) = 0$，解得 $x = \pm\sqrt{a}$。
当 $x < -\sqrt{a}$ 或 $x > \sqrt{a}$ 时，$x^2 > a$，即 $f'(x) > 0$，函数单调递增；
当 $-\sqrt{a} < x < \sqrt{a}$ 时，$x^2 < a$，即 $f'(x) < 0$，函数单调递减。
此时 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty, -\sqrt{a})$ 和 $(\sqrt{a}, +\infty)$，单调递减区间为 $(-\sqrt{a}, \sqrt{a})$。

综上所述：
当 $a < 0$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty, +\infty)$；
当 $a > 0$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty, -\sqrt{a})$，$(\sqrt{a}, +\infty)$，单调递减区间为 $(-\sqrt{a}, \sqrt{a})$。

（2）因为 $f(x)$ 在 $x = -1$ 处取得极值，所以 $f'(-1) = 0$。
代入导数公式：$3(-1)^2 - 3a = 0$，解得 $3 - 3a = 0$，即 $a = 1$。
此时 $f(x) = x^3 - 3x - 1$，$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1)$。
令 $f'(x) = 0$，得 $x_1 = -1, x_2 = 1$。

由（1）可知，当 $a=1$ 时：
$f(x)$ 在 $(-\infty, -1)$ 上单调递增，在 $(-1, 1)$ 上单调递减，在 $(1, +\infty)$ 上单调递增。
因此，$f(x)$ 在 $x = -1$ 处取得极大值，在 $x = 1$ 处取得极小值。
极大值为 $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) - 1 = -1 + 3 - 1 = 1$。
极小值为 $f(1) = 1^3 - 3(1) - 1 = 1 - 3 - 1 = -3$。

若直线 $y = m$ 与 $y = f(x)$ 的图象有三个不同的交点，则 $m$ 必须严格介于函数的极小值和极大值之间。
即 $f(1) < m < f(-1)$，也就是 $-3 < m < 1$。
故 $m$ 的取值范围是 $(-3, 1)$。