（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大…_2011全国高考数学第19题答案解析 | 高考真题检索

Question

19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A配方的频数分布表

指标值分组	[90,94)	[94，98)	[98，102)	[102，106)	[106,110]
频数	8	20	42	22	8

B配方的频数分布表

指标值分组	[90,94)	[94，98)	[98,102)	[102，106)	[106, 110]
频数	4	12	42	32	10

（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为 $\scriptstyle \forall = { \left\{ \begin{array} { l l } { - 2 , } & { \ t < 9 4 } \ { 2 , } & { 9 4 \leqslant \ t < 1 0 2 } \ { 4 , } & { \ t \geqslant 1 0 2 } \end{array} ight. }$ 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）

Accepted Answer

见解析

（Ⅰ）根据题意，质量指标值大于或等于102的产品为优质品。

对于A配方，样本中质量指标值在 $[102, 106)$ 的频数为22，在 $[106, 110]$ 的频数为8。
优质品的总频数为 $22 + 8 = 30$。
样本总数为100，故用A配方生产的产品的优质品率估计值为：
$$ \frac{30}{100} = 0.3 $$

对于B配方，样本中质量指标值在 $[102, 106)$ 的频数为32，在 $[106, 110]$ 的频数为10。
优质品的总频数为 $32 + 10 = 42$。
样本总数为100，故用B配方生产的产品的优质品率估计值为：
$$ \frac{42}{100} = 0.42 $$

（Ⅱ）由B配方的频数分布表可知，各区间对应的频率如下：
质量指标值 $t < 94$（即区间 $[90, 94)$）的频数为4，频率为 $\frac{4}{100} = 0.04$；
质量指标值 $94 \leqslant t < 102$（即区间 $[94, 98)$ 和 $[98, 102)$ 之和）的频数为 $12 + 42 = 54$，频率为 $\frac{54}{100} = 0.54$；
质量指标值 $t \geqslant 102$（即区间 $[102, 106)$ 和 $[106, 110]$ 之和）的频数为 $32 + 10 = 42$，频率为 $\frac{42}{100} = 0.42$。

根据利润 $y$ 与质量指标值 $t$ 的关系式：
$$ y = \begin{cases} -2, & t < 94 \\ 2, & 94 \leqslant t < 102 \\ 4, & t \geqslant 102 \end{cases} $$
随机变量 $X$ 的可能取值为 $-2, 2, 4$。
对应的概率分别为：
$$ P(X = -2) = 0.04 $$
$$ P(X = 2) = 0.54 $$
$$ P(X = 4) = 0.42 $$

所以 $X$ 的分布列为：

$X$	$-2$	$2$	$4$
$P$	$0.04$	$0.54$	$0.42$

$X$ 的数学期望为：
$$ E(X) = (-2) \times 0.04 + 2 \times 0.54 + 4 \times 0.42 $$
$$ E(X) = -0.08 + 1.08 + 1.68 $$
$$ E(X) = 2.68 $$

（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大…——2011 高考数学第 19 题答案解析

完整解析 · 逐步详解

Still unclear? Ask the AI tutor

觉得理解了？

这道题真正考什么？

如果目标是先及格，这类题值得掌握。

同类专题与考点

返回上层