某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一…——2022 高考数学第 19 题答案解析

19. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： $m^{2}$ ）和材积量（单位： $m^{3}$ ），得到如下数据：

<table><tr><td>样本号i</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>总和</td></tr><tr><td>根部横截面积 $x_{i}$ </td><td>0.04</td><td>0.06</td><td>0.04</td><td>0.08</td><td>0.08</td><td>0.05</td><td>0.05</td><td>0.07</td><td>0.07</td><td>0.06</td><td>0.6</td></tr><tr><td>材积量 $y_{i}$ </td><td>0.25</td><td>0.40</td><td>0.22</td><td>0.54</td><td>0.51</td><td>0.34</td><td>0.36</td><td>0.46</td><td>0.42</td><td>0.40</td><td>3.9</td></tr></table>

并计算得 $\sum_{\mathrm{i} = 1}^{10}x_{\mathrm{i}}^{2} = 0.038,\sum_{\mathrm{i} = 1}^{10}y_{\mathrm{i}}^{2} = 1.6158,\sum_{\mathrm{i} = 1}^{10}x_{\mathrm{i}}y_{\mathrm{i}} = 0.2474.$

(1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;

(2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.01）;

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 $186\mathrm{m}^2$ 。已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比。利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值。

附：相关系数 $r = \frac{\sum_{\mathrm{i} = 1}^{n}(x_{\mathrm{i}} - \overline{x})(y_{\mathrm{i}} - \overline{y})}{\sqrt{\sum_{\mathrm{i} = 1}^{n}(x_{\mathrm{i}} - \overline{x})^2\sum_{\mathrm{i} = 1}^{n}(y_{\mathrm{i}} - \overline{y})^2}},\sqrt{1.896}\approx 1.377.$