如图，在正方体 A B C D - A _ 1 B _ 1…——2020 高考数学第 16 题答案解析

（Ⅰ）在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，
因为 $AB \parallel C_1D_1$ 且 $AB = C_1D_1$，
所以四边形 $ABC_1D_1$ 为平行四边形，
故 $BC_1 \parallel AD_1$.
又因为 $BC_1 \not\subset$ 平面 $AD_1E$，$AD_1 \subset$ 平面 $AD_1E$，
所以 $BC_1 \parallel$ 平面 $AD_1E$.

（Ⅱ）以 $A$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AA_1}$ 的方向为 $x, y, z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为 2，则 $A(0,0,0)$，$D_1(2,0,2)$，$E(0,2,1)$，$A_1(0,0,2)$.
所以 $\overrightarrow{AD_1} = (2,0,2)$，$\overrightarrow{AE} = (0,2,1)$，$\overrightarrow{AA_1} = (0,0,2)$.
设平面 $AD_1E$ 的法向量为 $\vec{n} = (x,y,z)$，
由 $\begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{AD_1} = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{AE} = 0 \end{cases}$，得 $\begin{cases} 2x + 2z = 0 \\ 2y + z = 0 \end{cases}$.
令 $z = -2$，解得 $x = 2, y = 1$，即 $\vec{n} = (2,1,-2)$.
设直线 $AA_1$ 与平面 $AD_1E$ 所成的角为 $\theta$，
则 $\sin \theta = |\cos \langle \vec{n}, \overrightarrow{AA_1} \rangle| = \frac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{AA_1}|}{|\vec{n}| |\overrightarrow{AA_1}|} = \frac{|-4|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2} \times 2} = \frac{4}{3 \times 2} = \frac{2}{3}$.
故直线 $AA_1$ 与平面 $AD_1E$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$.