2020年高考数学真题及答案解析

1.已知集合 $A = \{ - 1 , 0 , 1 , 2 \}$ $B = \{ x \mid 0 < x < 3 \}$ ，则 A BI = （ ）

2．在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(1,2)$，则 $i \cdot z = (\quad)$．

3.在 ${ ( \sqrt { x } - 2 ) } ^ { 5 }$ 的展开式中， $x ^ { 2 }$ 的系数为（ ）

4.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）

正（主）视图

侧（左）视图

俯视图

5.已知半径为1的圆经过点(3, 4) ，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）

6.已知函数 $f ( x ) = 2 ^ { x } - x - 1$ ，则不等式 $f ( x ) > 0$ 的解集是（ ）

7.设抛物线的顶点为O，焦点为F ，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作$P Q \perp l \mp Q$ ，则线段 $F Q$ 的垂直平分线（ ）

8.在等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中， $a _ { 1 } = - 9$ $a _ { 3 } = - 1$ ．记 $T _ { n } = a _ { 1 } a _ { 2 } . . . \ a _ { n } ( n = 1 , 2 , . . . \ )$ ，则数列 $\left\{ T _ { n } \right\}$ （）

9．已知 $\alpha,\beta\in R$ ，则“存在 $k\in Z$ 使得 $\alpha=k\pi+(-1)^k\beta$”是“$\sin\alpha=\sin\beta$”的（ ）．

10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（p

Day）．历史上，求圆周率p 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2p 的近似值．按照阿尔·卡西的方法，p的近似值的表达式是（ ）

12.已知双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { 6 } - \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1$ ，则C的右焦点的坐标为 \_；C的焦点到其渐近线的距 离是

13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足 $\overrightarrow { A P } = \frac { 1 } { 2 } ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A C } )$ ，则 $| \overrightarrow { P D }$ |= \_ ${ \overrightarrow { P B } } \cdot { \overrightarrow { P D } } =$ =

15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为 $W = f ( t )$ ，用 $- { \frac { f ( b ) - f ( a ) } { b - a } }$ 的大小评价在 $[ a , b ]$ 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.

给出下列四个结论：

①在 $\left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } \right]$ 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在 $t _ { 2 }$ 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在 $t _ { 3 }$ 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在 $\left[ 0 , t _ { 1 } \right] , \left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } \right] , \left[ t _ { 2 } , t _ { 3 } \right]$ 这三段时间中，在 $\left[ 0 , t _ { 1 } \right]$ 的污水治理能力最强

其中所有正确结论的序号是

16.如图，在正方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 中，E为 $B B _ { 1 }$ 的中点

D1

（Ⅰ）求证： $B C _ { 1 } / /$ 平面 $A D _ { 1 } E$

（Ⅱ）求直线 $A A _ { 1 }$ 与平面 $A D _ { 1 } E$ 所成角的正弦值

17.在 $\triangle A B C$ 中， $a + b = 1 1$ ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：

（Ⅰ）a的值：

（Ⅱ）sinC和 $\triangle A B C$ 的面积

条件①： $c = 7 , \cos A = - { \frac { 1 } { 7 } }$

条件②： $\cos A = \frac { 1 } { 8 } , \cos B = \frac { 9 } { 1 6 }$

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计 pts

19.已知函数 $f ( x ) = 1 2 - x ^ { 2 }$

（Ⅰ）求曲线 $y = f ( x )$ 的斜率等于 -2的切线方程；

（Ⅱ）设曲线 $y = f ( x )$ 在点( , ( )) t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 S t( ) ，求S t( ) 的最小值

20.已知椭圆 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$ 过点 A( 2, 1)- - ，且 $a = 2 b$

（Ⅰ）求椭圆C的方程：

（Ⅱ）过点B( 4,0) - 的直线l交椭圆C于点M N, ,直线MA NA, 分别交直线x = -4于点 $P , Q$ 求 $\frac { \mid P B \mid } { \mid B Q \mid }$ 的值．

1．已知集合 $A=\{-1,0,1,2\}, B=\{x \mid 0<x<3\}$ ，则 $A \cap B=$ ．

2．在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(1,2)$ ，则 $i \cdot z=$ ．

3．在 $(\sqrt{x}-2)^{5}$ 的展开式中，$x^{2}$ 的系数为（ ）。

4．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为 ．

正（主）视图

侧（左）视图

俯视图

5．已知半径为 1 的圆经过点 $(3,4)$ ，则其圆心到原点的距离的最小值为 ．

6．已知函数 $f(x)=2^{x}-x-1$ ，则不等式 $f(x)>0$ 的解集是（））．

7．设抛物线的顶点为 $O$ ，焦点为 $F$ ，准线为 $l . P$ 是抛物线上异于 $O$ 的一点，过 $P$ 作 $P Q \perp l$ 于 $Q$ ，则线段 $F Q$ 的垂直平分线（ ）．

8．在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=-9, a_{3}=-1$ 。记 $T_{n}=a_{1} a_{2} \ldots a_{n}(n=1,2, \ldots)$ ，则数列 $\left\{T_{n}\right\}$ ）．

9．已知 $\alpha, \beta \in R$ ，则＂存在 $k \in Z$ 使得 $\alpha=k \pi+(-1)^{k} \beta$＂是＂ $\sin \alpha=\sin \beta$＂的（ ）．

10．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ $\pi$
Day）．历史上，求圆周率 $\pi$ 的方法有多种，与中国传统数学中的＂割圆术＂相似。数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数 $n$ 充分大时，计算单位圆的内接正 $6 n$ 边形的周长和外切正 $6 n$ 边

形（各边均与圆相切的正 $6 n$ 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 $2 \pi$ 的近似值。按照阿尔•卡西的方法，$\pi$ 的近似值的表达式是（ ）。

11．函数 $f(x)=\frac{1}{x+1}+\ln x$ 的定义域是 $\_\_\_\_$ ．

12．已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{3}=1$ ，则 $C$ 的右焦点的坐标为 $\_\_\_\_$ ；$C$ 的焦点到其渐近线的距离是 $\_\_\_\_$ ．

13．已知正方形 $A B C D$ 的边长为 2 ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{A P}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$ ，则 $|\overrightarrow{P D}|=$ $\_\_\_\_$ ；
$\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P D}=$ $\_\_\_\_$。