已知a，b，c均为正数，且 a ^ 2 + b ^ 2 +…——2022 高考数学第 23 题答案解析

(1) 由柯西不等式可得：
$$ (a^2 + b^2 + (2c)^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \ge (a \cdot 1 + b \cdot 1 + 2c \cdot 1)^2 $$
即
$$ 3(a^2 + b^2 + 4c^2) \ge (a + b + 2c)^2 $$
已知 $a^2 + b^2 + 4c^2 = 3$，代入上式得：
$$ 9 \ge (a + b + 2c)^2 $$
因为 $a, b, c$ 均为正数，所以 $a + b + 2c > 0$，开方得：
$$ a + b + 2c \le 3 $$
当且仅当 $\frac{a}{1} = \frac{b}{1} = \frac{2c}{1}$，即 $a=b=2c=1$ 时，等号成立。

(2) 因为 $b = 2c$，由 (1) 的结论可知：
$$ a + b + 2c = a + 2c + 2c = a + 4c \le 3 $$
又因为 $a, c > 0$，所以 $0 < a + 4c \le 3$，从而 $\frac{1}{a+4c} \ge \frac{1}{3}$。

对于 $\frac{1}{a} + \frac{1}{c}$，利用柯西不等式（或权方和不等式）变形如下：
$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1^2}{a} + \frac{2^2}{4c} $$
由柯西不等式 $(\frac{1^2}{a} + \frac{2^2}{4c})(a + 4c) \ge (1 + 2)^2$，可得：
$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{c} \ge \frac{(1+2)^2}{a+4c} = \frac{9}{a+4c} $$
因为 $a + 4c \le 3$，所以 $\frac{9}{a+4c} \ge \frac{9}{3} = 3$。
即
$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{c} \ge 3 $$
当且仅当 $\frac{1}{a} = \frac{2}{4c}$ 且 $a+4c=3$，即 $a=1, c=\frac{1}{2}$ 时，等号成立。