甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方…——2022 高考数学第 19 题答案解析

记甲学校在三个项目中获胜的事件分别为 $A, B, C$，由题意知 $P(A)=0.5, P(B)=0.4, P(C)=0.8$，且各事件相互独立。则甲学校在各项目中失败的概率分别为 $P(\bar{A})=0.5, P(\bar{B})=0.6, P(\bar{C})=0.2$。

（1）甲学校获得冠军，意味着甲学校的总得分高于乙学校。由于每场比赛胜者得10分，负者得0分，且无平局，甲学校总分高于乙学校等价于甲学校获胜的项目数多于乙学校。因为总共只有3个项目，所以甲学校至少需要赢得2个项目才能成为冠军（即赢2场或3场）。

甲学校恰好赢得2个项目的概率为：
$$ \begin{aligned} P(\text{赢2场}) &= P(A B \bar{C}) + P(A \bar{B} C) + P(\bar{A} B C) \\ &= 0.5 \times 0.4 \times 0.2 + 0.5 \times 0.6 \times 0.8 + 0.5 \times 0.4 \times 0.8 \\ &= 0.04 + 0.24 + 0.16 \\ &= 0.44 \end{aligned} $$

甲学校恰好赢得3个项目的概率为：
$$ P(\text{赢3场}) = P(A B C) = 0.5 \times 0.4 \times 0.8 = 0.16 $$

故甲学校获得冠军的概率为：
$$ P = P(\text{赢2场}) + P(\text{赢3场}) = 0.44 + 0.16 = 0.6 $$

（2）设乙学校在每个项目中获胜的事件分别为 $\bar{A}, \bar{B}, \bar{C}$。乙学校总得分 $X$ 的可能取值为 $0, 10, 20, 30$。
乙学校得分为 $10k$ 分，等价于乙学校赢了 $k$ 个项目，也等价于甲学校赢了 $3-k$ 个项目。

当 $X=0$ 时，乙学校全败（甲全胜）：
$$ P(X=0) = P(A B C) = 0.5 \times 0.4 \times 0.8 = 0.16 $$

当 $X=10$ 时，乙学校胜1场（甲胜2场）：
$$ \begin{aligned} P(X=10) &= P(\bar{A} B C) + P(A \bar{B} C) + P(A B \bar{C}) \\ &= 0.5 \times 0.4 \times 0.8 + 0.5 \times 0.6 \times 0.8 + 0.5 \times 0.4 \times 0.2 \\ &= 0.16 + 0.24 + 0.04 \\ &= 0.44 \end{aligned} $$

当 $X=20$ 时，乙学校胜2场（甲胜1场）：
$$ \begin{aligned} P(X=20) &= P(A \bar{B} \bar{C}) + P(\bar{A} B \bar{C}) + P(\bar{A} \bar{B} C) \\ &= 0.5 \times 0.6 \times 0.2 + 0.5 \times 0.4 \times 0.2 + 0.5 \times 0.6 \times 0.8 \\ &= 0.06 + 0.04 + 0.24 \\ &= 0.34 \end{aligned} $$

当 $X=30$ 时，乙学校全胜（甲全败）：
$$ P(X=30) = P(\bar{A} \bar{B} \bar{C}) = 0.5 \times 0.6 \times 0.2 = 0.06 $$

检验概率之和：$0.16 + 0.44 + 0.34 + 0.06 = 1$，计算无误。
$X$ 的分布列为：

$X$ 的数学期望为：
$$ \begin{aligned} E(X) &= 0 \times 0.16 + 10 \times 0.44 + 20 \times 0.34 + 30 \times 0.06 \\ &= 0 + 4.4 + 6.8 + 1.8 \\ &= 13 \end{aligned} $$