（本小题共13分） 设数列 a_ n 的通项公式为 a_…——2009 高考数学第 20 题答案解析

由 $p>0$ 可知，$a_n=pn+q$ 随 $n$ 增大而增大。因此若 $b_m=N$，则必有 $a_N\ge m$，且 $a_{N-1}<m$。

（I）当 $p=\dfrac12,\ q=-\dfrac13$ 时，
$$a_n=\frac12n-\frac13.$$
求 $b_3$，即求满足
$$\frac12n-\frac13\ge 3$$
的最小正整数 $n$。解得
$$\frac12n\ge \frac{10}{3},\quad n\ge \frac{20}{3}.$$
因此最小正整数 $n=7$，所以
$$b_3=7.$$

（II）当 $p=2,\ q=-1$ 时，
$$a_n=2n-1.$$
由 $a_n\ge m$ 得
$$2n-1\ge m,\quad n\ge \frac{m+1}{2}.$$
所以
$$b_m=\left\lceil \frac{m+1}{2}\right\rceil.$$
当 $m=2k-1$ 时，
$$b_{2k-1}=k;$$
当 $m=2k$ 时，
$$b_{2k}=k+1.$$
于是前 $2m$ 项和为
$$\sum_{j=1}^{2m}b_j=\sum_{k=1}^m b_{2k-1}+\sum_{k=1}^m b_{2k}.$$
即
$$\sum_{j=1}^{2m}b_j=\sum_{k=1}^m k+\sum_{k=1}^m (k+1).$$
所以
$$\sum_{j=1}^{2m}b_j=\frac{m(m+1)}2+\frac{m(m+3)}2=m^2+2m.$$

（III）假设存在 $p,q$，使得对所有正整数 $m$，都有
$$b_m=3m+2.$$
由于 $a_n$ 关于 $n$ 单调递增，则必须且只需
$$a_{3m+2}\ge m,\quad a_{3m+1}<m$$
对任意正整数 $m$ 成立。

代入 $a_n=pn+q$，得
$$p(3m+2)+q\ge m,$$
$$p(3m+1)+q<m.$$
整理为
$$(3p-1)m+2p+q\ge 0,$$
$$(3p-1)m+p+q<0.$$
这两个不等式要对所有正整数 $m$ 成立。

若 $3p-1>0$，则 $(3p-1)m+p+q$ 随 $m$ 增大而趋于正无穷，不可能始终小于 $0$。

若 $3p-1<0$，则 $(3p-1)m+2p+q$ 随 $m$ 增大而趋于负无穷，不可能始终大于等于 $0$。

因此只能有
$$3p-1=0,$$
即
$$p=\frac13.$$

此时两个不等式化为
$$\frac23+q\ge 0,$$
$$\frac13+q<0.$$
解得
$$-\frac23\le q<-\frac13.$$

反过来，当 $p=\dfrac13$ 且 $-\dfrac23\le q<-\dfrac13$ 时，
$$a_{3m+2}=m+\frac23+q\ge m,$$
$$a_{3m+1}=m+\frac13+q<m.$$
故满足 $a_n\ge m$ 的最小正整数恰为 $3m+2$，即 $b_m=3m+2$。

所以存在这样的 $p,q$，且
$$p=\frac13,\quad -\frac23\le q<-\frac13.$$