（10分）等差数列 a _ n 的前n项和为 S _ n…——2013 高考数学第 17 题答案解析

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。

由 $S_3 = a_2^2$，根据等差数列性质知 $S_3 = 3a_2$，代入得：
$$3a_2 = a_2^2$$
解得 $a_2 = 0$ 或 $a_2 = 3$。

由 $S_1, S_2, S_4$ 成等比数列，得：
$$S_2^2 = S_1 \cdot S_4$$

将各项用 $a_2$ 和 $d$ 表示：$S_1 = a_1 = a_2 - d$，$S_2 = 2a_1 + d = 2a_2 - d$，$S_4 = 4a_1 + 6d = 4a_2 + 2d$。代入上式：
$$(2a_2 - d)^2 = (a_2 - d)(4a_2 + 2d)$$

**当 $a_2 = 0$ 时：**
$$(-d)^2 = (-d)(2d)$$
$$d^2 = -2d^2 \implies 3d^2 = 0 \implies d = 0$$
此时数列为常数列 $a_n = 0$，各项均为零，不构成有意义的等比数列，舍去。

**当 $a_2 = 3$ 时：**
$$(6 - d)^2 = (3 - d)(12 + 2d)$$
展开左边：$36 - 12d + d^2$
展开右边：$36 + 6d - 12d - 2d^2 = 36 - 6d - 2d^2$
整理得：
$$3d^2 - 6d = 0 \implies 3d(d - 2) = 0$$
解得 $d = 0$ 或 $d = 2$。

- 若 $d = 0$，则 $a_n = a_2 = 3$；
- 若 $d = 2$，则 $a_1 = a_2 - d = 1$，故 $a_n = 1 + (n-1) \times 2 = 2n - 1$。

综上，$\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = 3$ 或 $a_n = 2n - 1$。