（12分）（2011•陕西）如图，设P是圆 x ^ 2 +…——2011 高考数学第 17 题答案解析

（Ⅰ）设点 $M$ 的坐标为 $(x, y)$，点 $P$ 的坐标为 $(x_P, y_P)$。
由题意可知，点 $D$ 是点 $P$ 在 $x$ 轴上的射影，故 $D$ 的坐标为 $(x_P, 0)$。
因为 $M$ 在线段 $PD$ 上，且 $|MD| = \frac{4}{5}|PD|$，所以 $M$ 与 $P$ 的横坐标相同，即 $x = x_P$。
对于纵坐标，由于 $D$ 在 $x$ 轴上，$|MD| = |y|$，$|PD| = |y_P|$。由 $|y| = \frac{4}{5}|y_P|$ 且 $M, P$ 在 $x$ 轴同侧，可得 $y_P = \frac{5}{4}y$。
因为点 $P(x_P, y_P)$ 在圆 $x^2 + y^2 = 25$ 上，将 $x_P = x$，$y_P = \frac{5}{4}y$ 代入圆的方程得：
$x^2 + (\frac{5}{4}y)^2 = 25$
整理得：$x^2 + \frac{25}{16}y^2 = 25$
两边同时除以 25，得点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程为：
$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$

（Ⅱ）过点 $(3, 0)$ 且斜率为 $\frac{4}{5}$ 的直线方程为：
$y - 0 = \frac{4}{5}(x - 3)$，即 $y = \frac{4}{5}(x - 3)$
联立直线方程与椭圆 $C$ 的方程：
$\begin{cases} y = \frac{4}{5}(x - 3) \\ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \end{cases}$
将直线方程代入椭圆方程：
$\frac{x^2}{25} + \frac{[\frac{4}{5}(x - 3)]^2}{16} = 1$
$\frac{x^2}{25} + \frac{\frac{16}{25}(x - 3)^2}{16} = 1$
$\frac{x^2}{25} + \frac{(x - 3)^2}{25} = 1$
两边乘以 25 得：
$x^2 + (x - 3)^2 = 25$
$x^2 + x^2 - 6x + 9 = 25$
$2x^2 - 6x - 16 = 0$
化简得：$x^2 - 3x - 8 = 0$
设直线与椭圆交于 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$ 两点，则 $x_1, x_2$ 是上述方程的两个根。
由韦达定理得：$x_1 + x_2 = 3$，$x_1 x_2 = -8$。
弦长公式为 $|AB| = \sqrt{1 + k^2}|x_1 - x_2|$，其中 $k = \frac{4}{5}$。
$|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2} = \sqrt{3^2 - 4(-8)} = \sqrt{9 + 32} = \sqrt{41}$
所以，
$|AB| = \sqrt{1 + (\frac{4}{5})^2} \cdot \sqrt{41} = \sqrt{1 + \frac{16}{25}} \cdot \sqrt{41} = \sqrt{\frac{41}{25}} \cdot \sqrt{41} = \frac{\sqrt{41}}{5} \cdot \sqrt{41} = \frac{41}{5}$
故所截线段的长度为 $\frac{41}{5}$。