（本小题满分 14 分） 设 k R，函数 f(x)= a…——2008 高考数学第 19 题答案解析

由题意得
$$F(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{1-x}-kx, & x<1,\\[6pt] -\sqrt{x-1}-kx, & x\geqslant 1.\end{cases}$$

对两段分别求导：
$$F'(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{(1-x)^2}-k, & x<1,\\[6pt] -\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}-k, & x>1.\end{cases}$$

**一、讨论 $x<1$ 时的单调性**

此时 $F'(x)=\dfrac{1}{(1-x)^2}-k$。因为 $(1-x)^2>0$，所以 $\dfrac{1}{(1-x)^2}>0$。

1. 若 $k\leqslant 0$，则 $F'(x)>0$ 恒成立，$F(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递增。

2. 若 $k>0$，令 $F'(x)=0$，即 $\dfrac{1}{(1-x)^2}=k$，解得 $(1-x)^2=\dfrac{1}{k}$。因 $x<1$，故 $1-x>0$，取正根得 $1-x=\dfrac{1}{\sqrt{k}}$，即 $x=1-\dfrac{1}{\sqrt{k}}$。
- 当 $x<1-\dfrac{1}{\sqrt{k}}$ 时，$(1-x)>\dfrac{1}{\sqrt{k}}$，从而 $\dfrac{1}{(1-x)^2}<k$，即 $F'(x)<0$；
- 当 $1-\dfrac{1}{\sqrt{k}}<x<1$ 时，$0<(1-x)<\dfrac{1}{\sqrt{k}}$，从而 $\dfrac{1}{(1-x)^2}>k$，即 $F'(x)>0$。

因此 $F(x)$ 在 $\left(-\infty,1-\dfrac{1}{\sqrt{k}}\right]$ 上单调递减，在 $\left[1-\dfrac{1}{\sqrt{k}},1\right)$ 上单调递增。

**二、讨论 $x\geqslant 1$ 时的单调性**

当 $x>1$ 时，$F'(x)=-\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}-k$。注意 $-\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}<0$。

1. 若 $k\geqslant 0$，则 $F'(x)<0$ 对所有 $x>1$ 成立，$F(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递减。

2. 若 $k<0$，令 $F'(x)=0$，即 $\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}=-k$（此时 $-k>0$），解得 $\sqrt{x-1}=\dfrac{1}{-2k}=\dfrac{1}{2|k|}$，平方得 $x-1=\dfrac{1}{4k^2}$，即 $x=1+\dfrac{1}{4k^2}$。
- 当 $1<x<1+\dfrac{1}{4k^2}$ 时，$\sqrt{x-1}<\dfrac{1}{2|k|}$，故 $\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}>|k|$，即 $F'(x)<0$；
- 当 $x>1+\dfrac{1}{4k^2}$ 时，$\sqrt{x-1}>\dfrac{1}{2|k|}$，故 $\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}<|k|$，即 $F'(x)>0$。

因此 $F(x)$ 在 $\left[1,1+\dfrac{1}{4k^2}\right]$ 上单调递减，在 $\left[1+\dfrac{1}{4k^2},+\infty\right)$ 上单调递增。

**三、综合结论**

- 当 $k\leqslant 0$ 时：$F(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递增；在 $\left[1,1+\dfrac{1}{4k^2}\right]$ 上单调递减，在 $\left[1+\dfrac{1}{4k^2},+\infty\right)$ 上单调递增（$k=0$ 时在 $[1,+\infty)$ 上单调递减）。
- 当 $k>0$ 时：$F(x)$ 在 $\left(-\infty,1-\dfrac{1}{\sqrt{k}}\right]$ 上单调递减，在 $\left[1-\dfrac{1}{\sqrt{k}},1\right)$ 上单调递增；在 $[1,+\infty)$ 上单调递减。