（1）连接 $BC_1$，设 $BC_1$ 与 $B_1C$ 交于点 $O$。
因为侧面 $BB_1C_1C$ 为菱形，所以对角线互相垂直，即 $BC_1 \perp B_1C$。
又因为 $AO \perp$ 平面 $BB_1C_1C$，且 $B_1C \subset$ 平面 $BB_1C_1C$，
所以 $AO \perp B_1C$。
因为 $AO \cap BC_1 = O$，且 $AO, BC_1 \subset$ 平面 $ABO$，
所以 $B_1C \perp$ 平面 $ABO$。
又因为 $AB \subset$ 平面 $ABO$，
所以 $B_1C \perp AB$。
（2）作 $OD \perp BC$ 于 $D$，连接 $AD$，作 $OH \perp AD$ 于 $H$。
因为 $AO \perp$ 平面 $BB_1C_1C$，且 $BC \subset$ 平面 $BB_1C_1C$，所以 $AO \perp BC$。
又 $OD \perp BC$，且 $AO \cap OD = O$，
所以 $BC \perp$ 平面 $AOD$。
因为 $OH \subset$ 平面 $AOD$，所以 $BC \perp OH$。
又 $OH \perp AD$，且 $BC \cap AD = D$，
所以 $OH \perp$ 平面 $ABC$。
即 $OH$ 为点 $O$ 到平面 $ABC$ 的距离。
由 $\angle CBB_1 = 60^\circ$ 且 $BC=BB_1=1$（菱形边长相等），可知 $\triangle CBB_1$ 为等边三角形，所以 $B_1C=1$。
因为 $AC \perp AB_1$，即 $\triangle AB_1C$ 为直角三角形，且 $O$ 为斜边 $B_1C$ 的中点，
所以 $OA = \frac{1}{2}B_1C = \frac{1}{2}$。
在等边 $\triangle CBB_1$ 中，$O$ 为 $B_1C$ 中点，则 $O$ 到 $BC$ 的距离 $OD$ 等于 $B_1$ 到 $BC$ 距离的一半，
即 $OD = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{4}$。
在 Rt$\triangle AOD$ 中（因 $AO \perp$ 平面 $BB_1C_1C \Rightarrow AO \perp OD$），
$AD = \sqrt{OA^2 + OD^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$。
由等面积法 $OH \cdot AD = OA \cdot OD$，得
$OH = \frac{OA \cdot OD}{AD} = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{14}$。
因为 $O$ 是 $B_1C$ 的中点，点 $C$ 在平面 $ABC$ 上，
所以点 $B_1$ 到平面 $ABC$ 的距离 $h = 2OH = 2 \times \frac{\sqrt{21}}{14} = \frac{\sqrt{21}}{7}$。
即三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的高为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$。
