已知数列 a _ n 的各项均为正数，记 S _ n 为…——2021 高考数学第 18 题答案解析

**情形一：选①②作为条件，证明③成立**

设数列 $\{\sqrt{S_n}\}$ 的公差为 $d$。因为 $\{\sqrt{S_n}\}$ 是等差数列，故可设 $\sqrt{S_n} = dn + c$（其中 $d, c$ 为常数）。
由于 $a_n > 0$，则 $S_n$ 单调递增且 $S_n > 0$，故 $\sqrt{S_n} > 0$。
由 $S_n = (dn+c)^2$，可得：
当 $n=1$ 时，$a_1 = S_1 = (d+c)^2$。
当 $n \ge 2$ 时，
$$ \begin{aligned} a_n &= S_n - S_{n-1} \\ &= (dn+c)^2 - [d(n-1)+c]^2 \\ &= (dn+c)^2 - (dn-d+c)^2 \\ &= [(dn+c) + (dn-d+c)] \cdot [(dn+c) - (dn-d+c)] \\ &= (2dn + 2c - d) \cdot d \\ &= 2d^2 n + 2cd - d^2 \end{aligned} $$
因为 $\{a_n\}$ 是等差数列，上述通项公式对 $n=1$ 也应当成立（或者利用 $a_2 - a_1 = a_3 - a_2$ 验证，更直接的是利用 $a_1$ 符合线性关系）。
将 $n=1$ 代入上式得 $a_1 = 2d^2 + 2cd - d^2 = d^2 + 2cd$。
又已知 $a_1 = (d+c)^2 = d^2 + 2cd + c^2$。
联立可得 $d^2 + 2cd = d^2 + 2cd + c^2$，解得 $c^2 = 0$，即 $c=0$。
此时，$a_n = 2d^2 n - d^2 = d^2(2n-1)$。
计算 $a_1$ 和 $a_2$：
$a_1 = d^2(2\times 1 - 1) = d^2$，
$a_2 = d^2(2\times 2 - 1) = 3d^2$。
显然 $a_2 = 3a_1$，结论③成立。

**情形二：选①③作为条件，证明②成立**

设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。
由条件③ $a_2 = 3a_1$，可得 $a_1 + d = 3a_1$，解得 $d = 2a_1$。
因为 $a_n > 0$，所以 $a_1 > 0$。
数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为：
$$ S_n = n a_1 + \frac{n(n-1)}{2} d = n a_1 + \frac{n(n-1)}{2} (2a_1) = n a_1 + n(n-1)a_1 = n^2 a_1 $$
所以 $\sqrt{S_n} = \sqrt{n^2 a_1} = n \sqrt{a_1}$。
考察数列 $\{\sqrt{S_n}\}$ 的相邻两项之差：
$$ \sqrt{S_{n+1}} - \sqrt{S_n} = (n+1)\sqrt{a_1} - n\sqrt{a_1} = \sqrt{a_1} $$
因为 $\sqrt{a_1}$ 是与 $n$ 无关的常数，所以数列 $\{\sqrt{S_n}\}$ 是等差数列，结论②成立。

**情形三：选②③作为条件，证明①成立**

设 $\sqrt{S_n} = An + B$（$A, B$ 为常数，$A>0$ 以保证 $S_n$ 随 $n$ 增大而增大，且各项为正）。
则 $S_n = (An+B)^2$。
当 $n=1$ 时，$a_1 = S_1 = (A+B)^2$。
当 $n \ge 2$ 时，
$$ \begin{aligned} a_n &= S_n - S_{n-1} \\ &= (An+B)^2 - [A(n-1)+B]^2 \\ &= (An+B)^2 - (An-A+B)^2 \\ &= A(2An - A + 2B) \\ &= 2A^2 n + 2AB - A^2 \end{aligned} $$
由条件③ $a_2 = 3a_1$，代入上述表达式：
$a_2 = 2A^2(2) + 2AB - A^2 = 3A^2 + 2AB$。
$a_1 = (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$。
方程 $3A^2 + 2AB = 3(A^2 + 2AB + B^2)$ 化简为：
$3A^2 + 2AB = 3A^2 + 6AB + 3B^2$
$0 = 4AB + 3B^2$
$B(4A + 3B) = 0$
解得 $B=0$ 或 $B = -\frac{4}{3}A$。

1. 若 $B = -\frac{4}{3}A$：
$\sqrt{S_1} = A + B = A - \frac{4}{3}A = -\frac{1}{3}A$。
因为 $A>0$，所以 $\sqrt{S_1} < 0$，这与算术平方根非负矛盾（且题目已知 $a_n$ 为正数，$S_1=a_1>0$），故舍去。

2. 若 $B = 0$：
此时 $\sqrt{S_n} = An$，即 $S_n = A^2 n^2$。
代入 $a_n$ 的表达式：
$a_n = 2A^2 n - A^2 = A^2(2n-1)$ （此式对 $n=1$ 也成立，因 $a_1 = A^2$）。
计算相邻两项之差：
$a_{n} - a_{n-1} = A^2(2n-1) - A^2(2(n-1)-1) = A^2(2n-1 - 2n + 3) = 2A^2$。
差值为常数，故 $\{a_n\}$ 是等差数列，结论①成立。