（14分）（2008•四川）已知x=3是函数 ~ f ~…——2008 高考数学第 22 题答案解析

（Ⅰ）函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-1, +\infty)$。
求导得 $f'(x) = \frac{a}{1+x} + 2x - 10$。
因为 $x=3$ 是函数 $f(x)$ 的一个极值点，所以 $f'(3) = 0$。
代入得 $\frac{a}{1+3} + 2\times3 - 10 = 0$，即 $\frac{a}{4} - 4 = 0$，解得 $a=16$。
经检验，当 $a=16$ 时，$f'(x) = \frac{16}{1+x} + 2x - 10 = \frac{2(x-1)(x-3)}{1+x}$，在 $x=3$ 两侧导数符号改变，符合题意。
故 $a=16$。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 $a=16$，则 $f'(x) = \frac{16}{1+x} + 2x - 10 = \frac{16 + (2x-10)(1+x)}{1+x} = \frac{2x^2 - 8x + 6}{1+x} = \frac{2(x-1)(x-3)}{1+x}$。
令 $f'(x) > 0$，即 $\frac{2(x-1)(x-3)}{1+x} > 0$。
因为 $x > -1$，所以 $1+x > 0$，只需 $(x-1)(x-3) > 0$，解得 $x < 1$ 或 $x > 3$。
结合定义域，得 $-1 < x < 1$ 或 $x > 3$。
令 $f'(x) < 0$，即 $(x-1)(x-3) < 0$，解得 $1 < x < 3$。
所以，函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-1, 1)$ 和 $(3, +\infty)$，单调递减区间为 $(1, 3)$。

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：
$f(x)$ 在 $(-1, 1)$ 上单调递增，在 $(1, 3)$ 上单调递减，在 $(3, +\infty)$ 上单调递增。
因此，$f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极大值，在 $x=3$ 处取得极小值。
极大值 $f(1) = 16\ln(1+1) + 1^2 - 10\times1 = 16\ln 2 - 9$。
极小值 $f(3) = 16\ln(1+3) + 3^2 - 10\times3 = 16\ln 4 + 9 - 30 = 32\ln 2 - 21$。

要使直线 $y=b$ 与函数 $y=f(x)$ 的图象有 3 个交点，需满足极小值 $< b <$ 极大值，且需验证边界情况以确保在每个单调区间内各有一个交点。
1. 当 $b = f(1)$ 或 $b = f(3)$ 时，只有 2 个交点（其中一个为切点）。
2. 当 $f(3) < b < f(1)$ 时：
- 在区间 $(-1, 1]$ 上，$f(x)$ 从 $-\infty$ 增至 $f(1)$，因 $b < f(1)$，故存在唯一 $x_1 \in (-1, 1)$ 使 $f(x_1)=b$。
- 在区间 $[1, 3]$ 上，$f(x)$ 从 $f(1)$ 减至 $f(3)$，因 $f(3) < b < f(1)$，故存在唯一 $x_2 \in (1, 3)$ 使 $f(x_2)=b$。
- 在区间 $[3, +\infty)$ 上，$f(x)$ 从 $f(3)$ 增至 $+\infty$，因 $b > f(3)$，故存在唯一 $x_3 \in (3, +\infty)$ 使 $f(x_3)=b$。
此时共有 3 个交点。

综上，$b$ 的取值范围是 $(f(3), f(1))$，即 $(32\ln 2 - 21, 16\ln 2 - 9)$。