等差数列 a_ n 的各项均为正数， a_ 1 =3，前…——2008 高考数学第 19 题答案解析

（1）设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，等比数列 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$。
由题意知 $a_1=3, b_1=1$，且 $\{a_n\}$ 各项均为正数，故 $d \ge 0$（若 $d<0$ 则必有一项为负，不合题意，实际上由后续计算可知 $d>0$）。
则 $a_n = 3 + (n-1)d$，$b_n = q^{n-1}$。
前 $n$ 项和 $S_n$ 满足：
$S_2 = 2a_1 + d = 6+d$，
$S_3 = 3a_1 + 3d = 9+3d$。
根据已知条件 $b_2 S_2 = 64$ 和 $b_3 S_3 = 960$，列方程组：
$$ \begin{cases} q(6+d) = 64 & \cdots ① \\ q^2(9+3d) = 960 & \cdots ② \end{cases} $$
由①得 $q = \frac{64}{6+d}$，代入②得：
$$ \left(\frac{64}{6+d}\right)^2 \cdot 3(3+d) = 960 $$
化简得：
$$ \frac{4096}{(6+d)^2} \cdot 3(3+d) = 960 $$
两边同除以 32：
$$ \frac{128}{(6+d)^2} \cdot 3(3+d) = 30 \implies \frac{64(3+d)}{(6+d)^2} = 5 $$
整理得：
$$ 64(3+d) = 5(6+d)^2 $$
$$ 192 + 64d = 5(36 + 12d + d^2) $$
$$ 192 + 64d = 180 + 60d + 5d^2 $$
$$ 5d^2 - 4d - 12 = 0 $$
解此一元二次方程：
$$ (5d+6)(d-2) = 0 $$
解得 $d=2$ 或 $d=-\frac{6}{5}$。
因为数列 $\{a_n\}$ 各项均为正数，且 $a_1=3$，若 $d=-\frac{6}{5}$，则 $a_3 = 3 - \frac{12}{5} < 0$，不合题意，故舍去。
所以 $d=2$。
代回求 $q$：$q = \frac{64}{6+2} = 8$。
故通项公式为：
$a_n = 3 + (n-1)\times 2 = 2n+1$，
$b_n = 1 \times 8^{n-1} = 8^{n-1}$。

（2）由（1）知 $a_n = 2n+1$，则前 $n$ 项和：
$$ S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2} = \frac{n(3+2n+1)}{2} = \frac{n(2n+4)}{2} = n(n+2) $$
所求和式为：
$$ T_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{S_k} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+2)} $$
利用裂项相消法，通项可变形为：
$$ \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right) $$
则：
$$ \begin{aligned} T_n &= \frac{1}{2} \left[ \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}\right) + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) \right] \\ &= \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{(n+2)+(n+1)}{(n+1)(n+2)} \right) \\ &= \frac{3}{4} - \frac{2n+3}{2(n+1)(n+2)} \end{aligned} $$