已知a，b，c都是正数，且 a ^ 3 2 + b ^ 3…——2022 高考数学第 23 题答案解析

**① 证明 $abc \leq \frac{1}{9}$**

由已知 $a, b, c > 0$，根据三元均值不等式（AM-GM），有：
$$ \frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}}}{3} \geq \sqrt[3]{a^{\frac{3}{2}} \cdot b^{\frac{3}{2}} \cdot c^{\frac{3}{2}}} $$

将已知条件 $a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}} = 1$ 代入上式左边，右边化简为 $\sqrt[3]{(abc)^{\frac{3}{2}}} = (abc)^{\frac{1}{2}}$，即：
$$ \frac{1}{3} \geq \sqrt{abc} $$

两边平方得：
$$ abc \leq \frac{1}{9} $$

当且仅当 $a^{\frac{3}{2}} = b^{\frac{3}{2}} = c^{\frac{3}{2}}$，即 $a=b=c=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}$ 时，等号成立。

**② 证明 $\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \leq \frac{1}{2\sqrt{abc}}$**

对于分母，利用基本不等式 $x+y \geq 2\sqrt{xy}$ ($x,y>0$)，可得：
$$ b+c \geq 2\sqrt{bc}, \quad a+c \geq 2\sqrt{ac}, \quad a+b \geq 2\sqrt{ab} $$

由于 $a,b,c > 0$，取倒数并乘以分子，不等号方向改变或保持（视具体变形而定，此处直接放缩）：
$$ \frac{a}{b+c} \leq \frac{a}{2\sqrt{bc}} $$
$$ \frac{b}{a+c} \leq \frac{b}{2\sqrt{ac}} $$
$$ \frac{c}{a+b} \leq \frac{c}{2\sqrt{ab}} $$

为了统一分母以便求和，将上述三项的分子分母同乘 $\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c}$：
$$ \frac{a}{2\sqrt{bc}} = \frac{a\sqrt{a}}{2\sqrt{abc}} = \frac{a^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}} $$
$$ \frac{b}{2\sqrt{ac}} = \frac{b\sqrt{b}}{2\sqrt{abc}} = \frac{b^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}} $$
$$ \frac{c}{2\sqrt{ab}} = \frac{c\sqrt{c}}{2\sqrt{abc}} = \frac{c^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}} $$

将三式相加：
$$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \leq \frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}} $$

代入已知条件 $a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}} = 1$，得：
$$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \leq \frac{1}{2\sqrt{abc}} $$

当且仅当 $a=b=c$ 时，上述所有不等式的等号同时成立。