2013_上海 Paper
32．（12分）半径为R，均匀带正电荷的球体在空间产生球对称的电场；场强火小沿半径分布如图所示，图中 $E _ { 0 }$ 已知，E－r曲线下O－R部分的面积等于R－2R部分的面积。
（1）写出 $E - r$ 曲线下面积的单位；
（2）己知带电球在r≥R处的场强 $E = k Q / r ^ { 2 }$，式中k为静电力常量，该均匀带电球所带的电荷量Q为多大?（3）求球心与球表面间的电势差△U；
（4）质量为m，电荷量为q的负电荷在球面处需具有多大的速度可以刚好运动到2R处?【答案】①V ② $Q = \frac { \mathrm { E } _ { 0 } R ^ { 2 } } { k }$ ③ $\Delta \mathrm { U } { = } \frac { \mathrm { R E } _ { 0 } } { 2 }$ ④ $\nu = \sqrt { \frac { q \mathrm { R E } _ { 0 } } { m } }$
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（1）在 $E-r$ 图像中，纵轴表示电场强度 $E$（单位 V/m），横轴表示距离 $r$（单位 m）。图线与横轴围成的面积表示电势差 $U = \int E dr$，其单位为 $\text{V/m} \times \text{m} = \text{V}$。
（2）由题意可知，带电球体在 $r \ge R$ 处的场强分布遵循点电荷场强公式 $E = k \frac{Q}{r^2}$。
观察图像可知，当 $r=R$ 时，电场强度为 $E_0$。
将 $r=R, E=E_0$ 代入公式得：
$$E_0 = k \frac{Q}{R^2}$$
解得该均匀带电球所带的电荷量：
$$Q = \frac{E_0 R^2}{k}$$
（3）根据电势差与电场强度的关系 $U_{AB} = \int_A^B E dr$，可知 $E-r$ 图线与 $r$ 轴围成的面积数值上等于两点间的电势差。
球心到球表面（$0 \sim R$）的电势差 $\Delta U$ 对应图中 $0 \sim R$ 部分的三角形面积：
$$\Delta U = S_{0-R} = \frac{1}{2} \cdot \text{底} \cdot \text{高} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot E_0 = \frac{E_0 R}{2}$$
（4）题目已知 $E-r$ 曲线下 $O-R$ 部分的面积等于 $R-2R$ 部分的面积，即 $S_{0-R} = S_{R-2R}$。
因此，球表面（$R$）与 $2R$ 处之间的电势差大小 $U_{R-2R}$ 为：
$$U_{R-2R} = S_{R-2R} = S_{0-R} = \frac{E_0 R}{2}$$
由于球体带正电，电场线方向由球心指向无穷远，沿电场线方向电势降低，故 $\varphi_R > \varphi_{2R}$，即 $U_{R-2R} = \varphi_R - \varphi_{2R} = \frac{E_0 R}{2}$。
对于质量为 $m$、电荷量为 $q$（负电荷）的粒子，从球面运动到 $2R$ 处，电场力做负功。设初速度为 $v$，末速度为 0（刚好运动到），根据动能定理：
$$W_{\text{电}} = \Delta E_k$$
$$-q U_{R-2R} = 0 - \frac{1}{2} m v^2$$
代入 $U_{R-2R}$ 的值：
$$-q \left( \frac{E_0 R}{2} \right) = -\frac{1}{2} m v^2$$
化简得：
$$q E_0 R = m v^2$$
解得所需的最小速度：
$$v = \sqrt{\frac{q E_0 R}{m}}$$