（15分） 已知随圆 x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b…——2025 高考数学第 16 题答案解析

（1）设椭圆半焦距为 $c$，由离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ 得 $a=2c$。
左焦点 $F(-c,0)$，右顶点 $A(a,0)$，即 $A(2c,0)$。
点 $P$ 在直线 $x=a$ 上，设 $P(2c, y_P)$。
由直线 $PF$ 的斜率为 $\frac{1}{3}$，得：
$$ k_{PF} = \frac{y_P - 0}{2c - (-c)} = \frac{y_P}{3c} = \frac{1}{3} $$
解得 $y_P = c$，故 $P(2c, c)$。
$\triangle PFA$ 的底边 $|AF| = a - (-c) = 3c$，高为 $P$ 点纵坐标的绝对值 $|y_P|=c$。
由面积公式：
$$ S_{\triangle PFA} = \frac{1}{2} \cdot |AF| \cdot |y_P| = \frac{1}{2} \cdot 3c \cdot c = \frac{3}{2}c^2 $$
已知面积为 $\frac{3}{2}$，则 $\frac{3}{2}c^2 = \frac{3}{2}$，解得 $c=1$（因 $c>0$）。
所以 $a=2, b^2 = a^2 - c^2 = 4 - 1 = 3$。
椭圆方程为 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$。

（2）由（1）知 $F(-1,0), A(2,0), P(2,1)$。
设过点 $P$ 的直线 $l$ 的方程为 $y - 1 = k(x - 2)$，即 $y = kx + (1-2k)$。
联立直线与椭圆方程：
$$ \begin{cases} y = kx + (1-2k) \\ 3x^2 + 4y^2 = 12 \end{cases} $$
消去 $y$ 整理得：
$$ (3+4k^2)x^2 + 8k(1-2k)x + 4(1-2k)^2 - 12 = 0 $$
因直线与椭圆有唯一交点 $B$，故判别式 $\Delta = 0$：
$$ \Delta = [8k(1-2k)]^2 - 4(3+4k^2)[4(1-2k)^2 - 12] = 0 $$
化简该式（或利用切线条件 $m^2 = a^2k^2+b^2$，此处 $m=1-2k$）：
$$ (1-2k)^2 = 4k^2 + 3 $$
$$ 1 - 4k + 4k^2 = 4k^2 + 3 $$
$$ -4k = 2 \implies k = -\frac{1}{2} $$
此时直线方程为 $y = -\frac{1}{2}x + 2$。
代入椭圆方程求交点 $B$：
$$ 3x^2 + 4(-\frac{1}{2}x + 2)^2 = 12 $$
$$ 3x^2 + 4(\frac{1}{4}x^2 - 2x + 4) = 12 $$
$$ 3x^2 + x^2 - 8x + 16 = 12 $$
$$ 4x^2 - 8x + 4 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x=1 $$
$$ y = -\frac{1}{2}(1) + 2 = \frac{3}{2} $$
故 $B(1, \frac{3}{2})$。

要证 $PF$ 平分 $\angle AFB$，即证 $\angle PFA = \angle PFB$。
计算各直线斜率：
$k_{FA} = 0$（$FA$ 在 $x$ 轴上），
$k_{FP} = \frac{1-0}{2-(-1)} = \frac{1}{3}$，
$k_{FB} = \frac{\frac{3}{2}-0}{1-(-1)} = \frac{3}{4}$。

利用夹角正切公式：
$$ \tan \angle PFA = \left| \frac{k_{FP} - k_{FA}}{1 + k_{FP}k_{FA}} \right| = \left| \frac{\frac{1}{3} - 0}{1 + 0} \right| = \frac{1}{3} $$
$$ \tan \angle PFB = \left| \frac{k_{FB} - k_{FP}}{1 + k_{FB}k_{FP}} \right| = \left| \frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{3}}{1 + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}} \right| = \left| \frac{\frac{5}{12}}{1 + \frac{1}{4}} \right| = \frac{\frac{5}{12}}{\frac{5}{4}} = \frac{1}{3} $$
因为 $\tan \angle PFA = \tan \angle PFB$，且两角均为锐角，
所以 $\angle PFA = \angle PFB$，即 $PF$ 平分 $\angle AFB$。