已知双曲线 x ^ 2 a ^ 2 - y ^ 2 b ^…——2015 高考数学第 6 题答案解析

双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a>0, b>0$) 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{b}{a}x$。
由题意，点 $(2, \sqrt{3})$ 在渐近线上，代入得 $\sqrt{3} = \frac{b}{a} \times 2$，即 $\frac{b}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，故 $b = \frac{\sqrt{3}}{2}a$。

抛物线 $y^2 = 4\sqrt{7}x$ 的标准形式为 $y^2 = 2px$，其中 $2p = 4\sqrt{7}$，即 $p = 2\sqrt{7}$。
其准线方程为 $x = -\frac{p}{2} = -\sqrt{7}$。
因为双曲线的一个焦点在该准线上，且双曲线焦点坐标为 $(\pm c, 0)$，所以 $c = \sqrt{7}$。

在双曲线中，满足关系式 $c^2 = a^2 + b^2$。
将 $c=\sqrt{7}$ 和 $b = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ 代入得：
$(\sqrt{7})^2 = a^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2$
$7 = a^2 + \frac{3}{4}a^2$
$7 = \frac{7}{4}a^2$
解得 $a^2 = 4$，则 $a=2$。
进而 $b^2 = \frac{3}{4}a^2 = \frac{3}{4} \times 4 = 3$。

所以双曲线的方程为 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} = 1$。