（13分）（2016•天津）某小组共10人，利用假期参加义…——2016 高考数学第 16 题答案解析

从10人中随机选出2人，总的选法种数为 $C_{10}^2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ 种。

① 设事件 $A$ 为“选出的2人参加义工活动次数之和为4”。
满足条件的情况分为两类：
1. 一人参加1次，另一人参加3次：从3名参加1次的人中选1人，从4名参加3次的人中选1人，选法有 $C_3^1 C_4^1 = 3 \times 4 = 12$ 种；
2. 两人都参加2次：从3名参加2次的人中选2人，选法有 $C_3^2 = 3$ 种。
故事件 $A$ 包含的基本事件数为 $12 + 3 = 15$ 种。
所以，事件 $A$ 发生的概率 $P(A) = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$。

② 随机变量 $X$ 表示选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值。
参加次数分别为1, 2, 3，则 $X$ 的可能取值为 0, 1, 2。

当 $X=0$ 时，即两人参加次数相同：
- 两人都参加1次：$C_3^2 = 3$ 种；
- 两人都参加2次：$C_3^2 = 3$ 种；
- 两人都参加3次：$C_4^2 = 6$ 种。
共 $3+3+6=12$ 种。
$P(X=0) = \frac{12}{45} = \frac{4}{15}$。

当 $X=1$ 时，即两人参加次数相差1：
- 一人参加1次，一人参加2次：$C_3^1 C_3^1 = 3 \times 3 = 9$ 种；
- 一人参加2次，一人参加3次：$C_3^1 C_4^1 = 3 \times 4 = 12$ 种。
共 $9+12=21$ 种。
$P(X=1) = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$。

当 $X=2$ 时，即两人参加次数相差2（一人1次，一人3次）：
- 选法为 $C_3^1 C_4^1 = 3 \times 4 = 12$ 种。
$P(X=2) = \frac{12}{45} = \frac{4}{15}$。

检验概率和：$\frac{4}{15} + \frac{7}{15} + \frac{4}{15} = \frac{15}{15} = 1$，符合分布列性质。

$X$ 的分布列为：

数学期望 $E(X) = 0 \times \frac{4}{15} + 1 \times \frac{7}{15} + 2 \times \frac{4}{15} = \frac{7+8}{15} = \frac{15}{15} = 1$。