如图，四面体 ABCD 中， AD CD, AD = CD…——2022 高考数学第 18 题答案解析

（1）因为 $AD=CD$，且 $E$ 为 $AC$ 的中点，所以 $DE \perp AC$.
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle CBD$ 中，
$$ \begin{cases} AD=CD \\ \angle ADB = \angle CDB \\ BD=BD \end{cases} $$
所以 $\triangle ABD \cong \triangle CBD$，故 $AB=CB$.
又因为 $E$ 为 $AC$ 的中点，所以 $BE \perp AC$.
因为 $DE \cap BE = E$，且 $DE, BE \subset$ 平面 $BED$，
所以 $AC \perp$ 平面 $BED$.
又因为 $AC \subset$ 平面 $ACD$，
所以平面 $BED \perp$ 平面 $ACD$.

（2）由（1）知 $AC \perp$ 平面 $BED$，而 $EF \subset$ 平面 $BED$，所以 $AC \perp EF$.
$\triangle AFC$ 的面积 $S_{\triangle AFC} = \frac{1}{2} AC \cdot EF$.
要使面积最小，需 $EF$ 最小. 当 $EF \perp BD$ 时，$EF$ 取得最小值.

由 $\triangle ABD \cong \triangle CBD$ 及已知条件可得：
$CB = AB = 2$.
因为 $\angle ACB = 60^{\circ}$，所以 $\triangle ABC$ 为等边三角形，则 $AC=2$.
因为 $E$ 为 $AC$ 中点，所以 $AE=EC=1$，$BE = \sqrt{AB^2 - AE^2} = \sqrt{3}$.
在 Rt$\triangle ADC$ 中，$AD \perp CD$，$E$ 为斜边 $AC$ 中点，所以 $DE = \frac{1}{2}AC = 1$.
在 $\triangle BDE$ 中，$DE=1, BE=\sqrt{3}, BD=2$，满足 $DE^2 + BE^2 = BD^2$，所以 $DE \perp BE$.

以 $E$ 为原点，分别以 $EA, EB, ED$ 所在直线为 $x, y, z$ 轴建立空间直角坐标系.
则 $E(0,0,0), A(1,0,0), B(0,\sqrt{3},0), D(0,0,1), C(-1,0,0)$.
$\overrightarrow{AB} = (-1, \sqrt{3}, 0), \overrightarrow{AD} = (-1, 0, 1)$.
设平面 $ABD$ 的法向量为 $\vec{n} = (x,y,z)$，则
$$ \begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = -x + \sqrt{3}y = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{AD} = -x + z = 0 \end{cases} $$
令 $y=1$，则 $x=\sqrt{3}, z=\sqrt{3}$，即 $\vec{n} = (\sqrt{3}, 1, \sqrt{3})$.

在 Rt$\triangle BED$ 中，$EF \perp BD$，由射影定理或面积法可知：
$EF = \frac{DE \cdot BE}{BD} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$DF = \sqrt{DE^2 - EF^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$.
因为 $\overrightarrow{DB} = (0, \sqrt{3}, -1)$，且 $F$ 在 $BD$ 上，$\overrightarrow{DF} = \frac{DF}{DB}\overrightarrow{DB} = \frac{1/2}{2}\overrightarrow{DB} = \frac{1}{4}(0, \sqrt{3}, -1) = (0, \frac{\sqrt{3}}{4}, -\frac{1}{4})$.
所以 $\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DF} = (1, 0, 1) + (0, \frac{\sqrt{3}}{4}, -\frac{1}{4}) = (1, \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{4})$.
（或者由坐标计算：$F = D + \overrightarrow{DF} = (0,0,1) + (0, \frac{\sqrt{3}}{4}, -\frac{1}{4}) = (0, \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{4})$，$\overrightarrow{CF} = F - C = (1, \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{4})$）.

设 $CF$ 与平面 $ABD$ 所成的角为 $\theta$，则
$$ \sin \theta = |\cos \langle \vec{n}, \overrightarrow{CF} \rangle| = \frac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{CF}|}{|\vec{n}| |\overrightarrow{CF}|} $$
$$ \vec{n} \cdot \overrightarrow{CF} = \sqrt{3} \times 1 + 1 \times \frac{\sqrt{3}}{4} + \sqrt{3} \times \frac{3}{4} = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $$
$$ |\vec{n}| = \sqrt{3+1+3} = \sqrt{7} $$
$$ |\overrightarrow{CF}| = \sqrt{1 + \frac{3}{16} + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{28}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{2} $$
$$ \sin \theta = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7} \cdot \frac{\sqrt{7}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{7}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{7} $$

故 $CF$ 与平面 $ABD$ 所成的角的正弦值为 $\frac{4\sqrt{3}}{7}$.