（16）（本小题满分13分） 在 A B C 中，内角 A…——2013 高考数学第 13 题答案解析

（I）由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 可知 $a \sin B = b \sin A$。
结合已知条件 $b \sin A = 3 c \sin B$，可得 $a \sin B = 3 c \sin B$。
因为 $B$ 为三角形内角，$\sin B \neq 0$，所以 $a = 3c$。
已知 $a=3$，代入得 $3 = 3c$，解得 $c=1$。

在 $\triangle ABC$ 中，由余弦定理 $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$，
将 $a=3, c=1, \cos B=\frac{2}{3}$ 代入，得：
$b^2 = 3^2 + 1^2 - 2 \times 3 \times 1 \times \frac{2}{3} = 9 + 1 - 4 = 6$。
因为 $b > 0$，所以 $b = \sqrt{6}$。

（II）因为 $\cos B = \frac{2}{3}$，且 $B \in (0, \pi)$，
所以 $\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\sqrt{5}}{3}$。

利用二倍角公式计算 $\sin 2B$ 和 $\cos 2B$：
$\sin 2B = 2 \sin B \cos B = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4\sqrt{5}}{9}$，
$\cos 2B = 2 \cos^2 B - 1 = 2 \times \left(\frac{2}{3}\right)^2 - 1 = \frac{8}{9} - 1 = -\frac{1}{9}$。

利用两角差的正弦公式展开 $\sin \left(2 B-\frac{\pi}{3}\right)$：
$$ \begin{aligned} \sin \left(2 B-\frac{\pi}{3}\right) &= \sin 2B \cos \frac{\pi}{3} - \cos 2B \sin \frac{\pi}{3} \\ &= \frac{4\sqrt{5}}{9} \times \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{9}\right) \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= \frac{4\sqrt{5}}{18} + \frac{\sqrt{3}}{18} \\ &= \frac{4\sqrt{5}+\sqrt{3}}{18} \end{aligned} $$