（本小题满分 12 分） A B C 的内角 A, B,…——2014 高考数学第 16 题答案解析

（1）由 $a, b, c$ 成等差数列，得

$$a + c = 2b.$$

根据正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$，上式等价于

$$\sin A + \sin C = 2\sin B.$$

在 $\triangle ABC$ 中，$A + B + C = \pi$，故 $B = \pi - (A + C)$，于是

$$\sin B = \sin[\pi - (A + C)] = \sin(A + C).$$

代入即得

$$\sin A + \sin C = 2\sin(A + C).$$

证毕。

（2）由 $a, b, c$ 成等比数列，得

$$b^2 = ac.$$

由余弦定理：

$$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{a^2 + c^2 - ac}{2ac} = \frac{a^2 + c^2}{2ac} - \frac{1}{2}.$$

由基本不等式 $a^2 + c^2 \geq 2ac$（当且仅当 $a = c$ 时取等号），得

$$\frac{a^2 + c^2}{2ac} \geq 1,$$

因此

$$\cos B \geq 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2},$$

当且仅当 $a = c$ 时等号成立。此时三角形为等边三角形，$B = \dfrac{\pi}{3}$，满足条件。

故 $\cos B$ 的最小值为 $\dfrac{1}{2}$。