（本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x ) = t…——2011 高考数学第 15 题答案解析

（Ⅰ）由正切函数的定义可知，要使 $f(x)$ 有意义，需满足：
$$2x + \frac{\pi}{4} \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$
解得：
$$2x \neq k\pi + \frac{\pi}{4} \implies x \neq \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{8}, \quad k \in \mathbb{Z}$$
故函数 $f(x)$ 的定义域为 $\left\{ x \mid x \neq \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{8}, k \in \mathbb{Z} \right\}$。

函数 $f(x) = \tan(2x + \frac{\pi}{4})$ 的最小正周期 $T$ 由 $\omega=2$ 决定：
$$T = \frac{\pi}{|\omega|} = \frac{\pi}{2}$$

（Ⅱ）由题设 $f(\frac{\alpha}{2}) = 2\cos 2\alpha$，代入函数表达式得：
$$\tan\left(2 \cdot \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = 2\cos 2\alpha$$
即：
$$\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = 2\cos 2\alpha$$
利用两角和的正切公式及二倍角余弦公式展开：
$$\frac{\tan \alpha + \tan \frac{\pi}{4}}{1 - \tan \alpha \tan \frac{\pi}{4}} = 2(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)$$
$$\frac{\tan \alpha + 1}{1 - \tan \alpha} = 2(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)$$
将左边化为弦形式：
$$\frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + 1}{1 - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}$$
因此方程化为：
$$\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} = 2(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)$$
因为 $\alpha \in (0, \frac{\pi}{4})$，所以 $\sin \alpha > 0, \cos \alpha > 0$，且 $\cos \alpha > \sin \alpha$，故 $\sin \alpha + \cos \alpha \neq 0$ 且 $\cos \alpha - \sin \alpha \neq 0$。
方程两边同时除以 $(\sin \alpha + \cos \alpha)$，得：
$$\frac{1}{\cos \alpha - \sin \alpha} = 2(\cos \alpha - \sin \alpha)$$
整理得：
$$(\cos \alpha - \sin \alpha)^2 = \frac{1}{2}$$
展开左边：
$$\cos^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha = \frac{1}{2}$$
$$1 - \sin 2\alpha = \frac{1}{2}$$
$$\sin 2\alpha = \frac{1}{2}$$
因为 $\alpha \in (0, \frac{\pi}{4})$，所以 $2\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$。
在此区间内，$\sin 2\alpha = \frac{1}{2}$ 的解为：
$$2\alpha = \frac{\pi}{6}$$
解得：
$$\alpha = \frac{\pi}{12}$$