2015_新课标II Paper
11．（12分）如图，一质量为m、电荷量为 ${ \textsf { q } } \left( { \mathsf { q } } > 0 \right)$ 的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两点。已知该粒子在A点的速度大小为 $\mathsf { v } _ { 0 }$ ，方向与电场方向的夹角为 $60 ^ { \circ }$ ；它运动到 B 点时速度方向与电场方向的夹角为 $30 ^ { \circ }$ ．不计重力。求A、B两点间的电势差。
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粒子在匀强电场中运动，仅受电场力作用。将粒子的运动分解为垂直于电场方向和平行于电场方向两个分运动：
1. **速度关系分析**
由于电场力方向与电场线平行，粒子在垂直于电场方向上不受力，该方向的分速度保持不变。
设粒子在 $B$ 点的速度大小为 $v_B$。
在 $A$ 点，垂直电场方向的分速度为：$v_{y} = v_0 \sin 60^{\circ}$
在 $B$ 点，垂直电场方向的分速度为：$v_{y}' = v_B \sin 30^{\circ}$
由 $v_{y} = v_{y}'$ 可得：
$$v_B \sin 30^{\circ} = v_0 \sin 60^{\circ}$$
代入 $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}, \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：
$$v_B = \sqrt{3}v_0$$
2. **求解电势差**
粒子从 $A$ 运动到 $B$ 的过程中，只有电场力做功。根据动能定理：
$$W_{AB} = qU_{AB} = \frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_0^2$$
将 $v_B = \sqrt{3}v_0$ 代入上式：
$$qU_{AB} = \frac{1}{2}m(\sqrt{3}v_0)^2 - \frac{1}{2}mv_0^2$$
$$qU_{AB} = \frac{1}{2}m(3v_0^2) - \frac{1}{2}mv_0^2$$
$$qU_{AB} = mv_0^2$$
解得 $A,B$ 两点间的电势差为：
$$U_{AB} = \frac{mv_0^2}{q}$$