在四棱锥 Q-A B C D 中，底面 A B C D 是…——2021 高考数学第 19 题答案解析

（1）取 $AD$ 的中点 $O$，连接 $QO, CO$．
因为 $QA=QD=\sqrt{5}$，所以 $\triangle QAD$ 为等腰三角形，故 $QO \perp AD$．
在 Rt$\triangle QOA$ 中，$OA = \frac{1}{2}AD = 1$，$QA=\sqrt{5}$，
所以 $QO = \sqrt{QA^2 - OA^2} = \sqrt{5-1} = 2$．
在正方形 $ABCD$ 中，$CD=AD=2$，$OD=1$，且 $CD \perp AD$，
所以在 Rt$\triangle ODC$ 中，$OC = \sqrt{OD^2 + CD^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$．
在 $\triangle QOC$ 中，$QO=2, OC=\sqrt{5}, QC=3$，
因为 $QO^2 + OC^2 = 4 + 5 = 9 = QC^2$，
所以 $\triangle QOC$ 为直角三角形，即 $QO \perp OC$．
又因为 $AD \cap OC = O$，$AD, OC \subset$ 平面 $ABCD$，
所以 $QO \perp$ 平面 $ABCD$．
因为 $QO \subset$ 平面 $QAD$，
所以平面 $QAD \perp$ 平面 $ABCD$．

（2）由（1）知 $QO \perp$ 平面 $ABCD$，且 $AD \perp QO$．
在平面 $ABCD$ 内，过点 $O$ 作 $OT // CD$ 交 $BC$ 于 $T$，则 $OT \perp AD$．
以 $O$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{OT}, \overrightarrow{OD}, \overrightarrow{OQ}$ 的方向为 $x, y, z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系 $O-xyz$．
则 $O(0,0,0)$，$D(0,1,0)$，$A(0,-1,0)$，$Q(0,0,2)$．
因为底面是边长为 2 的正方形，所以 $B(2,-1,0)$．
于是 $\overrightarrow{QB} = (2, -1, -2)$，$\overrightarrow{QD} = (0, 1, -2)$．
设平面 $QBD$ 的法向量为 $\vec{n} = (x,y,z)$，
则 $\begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{QB} = 2x - y - 2z = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{QD} = y - 2z = 0 \end{cases}$．
令 $z=1$，则 $y=2$，代入第一式得 $2x - 2 - 2 = 0 \Rightarrow x=2$．
所以平面 $QBD$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (2, 2, 1)$．
平面 $QAD$ 即为坐标平面 $yOz$，其法向量可取 $\vec{m} = (1, 0, 0)$．
设二面角 $B-QD-A$ 的平面角为 $\theta$，由图可知 $\theta$ 为锐角，
则 $\cos \theta = |\cos \langle \vec{m}, \vec{n} \rangle| = \frac{|\vec{m} \cdot \vec{n}|}{|\vec{m}| |\vec{n}|} = \frac{|2 \times 1 + 0 + 0|}{1 \times \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$．
故二面角 $B-QD-A$ 的平面角的余弦值为 $\frac{2}{3}$．