## 20．（本小题满分13分） 某企业在第1年初购买一台…——2011 高考数学第 20 题答案解析

**(Ⅰ)**

当 $1 \leqslant n \leqslant 6$ 时，每年初价值比上年初减少10万元，故 $\{a_n\}$ 是首项 $a_1 = 120$、公差 $d = -10$ 的等差数列：
$$a_n = 120 + (n-1) \times (-10) = 130 - 10n$$
此时 $a_6 = 130 - 60 = 70$。

当 $n \geqslant 7$ 时，每年初价值为上年初的 $75\%$，故从第6项起构成以 $a_6 = 70$ 为首项、公比 $q = \dfrac{3}{4}$ 的等比数列：
$$a_n = 70 \times \left(\frac{3}{4}\right)^{n-6}$$

综上，第 $n$ 年初设备 M 的价值表达式为：
$$a_n = \begin{cases} 130 - 10n, & 1 \leqslant n \leqslant 6 \\ 70 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-6}, & n \geqslant 7 \end{cases}$$

**(Ⅱ)**

设 $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$。

**当 $1 \leqslant n \leqslant 6$ 时：**
$$S_n = 120n + \frac{n(n-1)}{2} \times (-10) = 125n - 5n^2$$
$$A_n = \frac{S_n}{n} = 125 - 5n$$
因为 $A_n$ 关于 $n$ 单调递减，所以此段最小值为 $A_6 = 125 - 30 = 95 > 80$。

**当 $n \geqslant 7$ 时：**
先求 $S_6 = 125 \times 6 - 5 \times 36 = 570$。
$$S_n = S_6 + (a_7 + a_8 + \cdots + a_n) = 570 + \frac{70 \times \frac{3}{4} \times \left[1 - \left(\frac{3}{4}\right)^{n-6}\right]}{1 - \frac{3}{4}}$$
$$= 570 + 210 \times \left[1 - \left(\frac{3}{4}\right)^{n-6}\right] = 780 - 210 \times \left(\frac{3}{4}\right)^{n-6}$$
$$A_n = \frac{780 - 210 \times \left(\frac{3}{4}\right)^{n-6}}{n}$$

由于 $\{a_n\}$ 是严格递减的正数列，且每一项均逐渐减小，其前 $n$ 项的平均值 $A_n$ 也是严格递减数列（可由 $A_{n+1} - A_n = \frac{a_{n+1} - A_n}{n+1} < 0$ 验证，因为 $a_{n+1} < a_n < A_n$）。

计算 $A_8$ 与 $A_9$：
$$A_8 = \frac{780 - 210 \times \left(\frac{3}{4}\right)^2}{8} = \frac{780 - 210 \times \frac{9}{16}}{8} = \frac{780 - \frac{945}{8}}{8} = \frac{\frac{6240 - 945}{8}}{8} = \frac{5295}{64} = 82\frac{47}{64} > 80$$

$$A_9 = \frac{780 - 210 \times \left(\frac{3}{4}\right)^3}{9} = \frac{780 - 210 \times \frac{27}{64}}{9} = \frac{780 - \frac{2835}{32}}{9} = \frac{\frac{24960 - 2835}{32}}{9} = \frac{22125}{288} = \frac{7375}{96} = 76\frac{79}{96} < 80$$

因为 $\{A_n\}$ 单调递减，且 $A_8 > 80$，$A_9 < 80$，所以当 $n \leqslant 8$ 时 $A_n > 80$，设备继续使用；当 $n = 9$ 时 $A_9 < 80$，须更新。

因此，须在第9年初对 M 更新。