已知椭圆 E : x ^ 2 a ^ 2 + y ^ 2…——2023 高考数学第 19 题答案解析

**（1）**

由题意，$A$、$C$ 分别为椭圆的上、下顶点，故 $|AC|=2b=4$，得 $b=2$。

离心率 $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$，即 $c=\dfrac{\sqrt{5}}{3}a$。

代入 $a^2-c^2=b^2$：

$$a^2-\frac{5}{9}a^2=4 \implies \frac{4}{9}a^2=4 \implies a^2=9$$

椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$。

**（2）**

由（1）知各顶点坐标为 $A(0,2)$，$C(0,-2)$，$B(-3,0)$，$D(3,0)$。

设 $P(m,n)$ 为第一象限内椭圆上的点，则 $0<m<3$，$0<n<2$，且满足

$$\frac{m^2}{9}+\frac{n^2}{4}=1 \quad \cdots(*)$$

**求点 $M$ 的坐标：**

直线 $BC$ 过 $B(-3,0)$、$C(0,-2)$，斜率为 $-\dfrac{2}{3}$，方程为 $y=-\dfrac{2}{3}x-2$。

直线 $PD$ 过 $P(m,n)$、$D(3,0)$，斜率为 $\dfrac{n}{m-3}$，方程为 $y=\dfrac{n}{m-3}(x-3)$。

联立两直线方程，将 $y=-\dfrac{2}{3}x-2$ 代入 $PD$ 的方程：

$$-\frac{2}{3}x-2=\frac{n}{m-3}(x-3)$$

两边乘以 $3(m-3)$：

$$-2(m-3)x-6(m-3)=3n(x-3)$$

整理得：

$$[3n+2(m-3)]x = -6(m-3)+9n$$

即 $(3n+2m-6)x=3(3n-2m+6)$，解得

$$x_M=\frac{3(3n-2m+6)}{3n+2m-6}$$

代回 $BC$ 方程得

$$y_M=-\frac{2}{3}\cdot\frac{3(3n-2m+6)}{3n+2m-6}-2=\frac{-2(3n-2m+6)-2(3n+2m-6)}{3n+2m-6}=\frac{-12n}{3n+2m-6}$$

**求点 $N$ 的坐标：**

直线 $PA$ 过 $P(m,n)$、$A(0,2)$，斜率为 $\dfrac{n-2}{m}$，方程为 $y=\dfrac{n-2}{m}x+2$。

令 $y=-2$：

$$-2=\frac{n-2}{m}x+2 \implies x_N=\frac{-4m}{n-2}$$

故 $N\left(\dfrac{-4m}{n-2},\,-2\right)$。

**计算 $k_{MN}$：**

$$k_{MN}=\frac{y_M-y_N}{x_M-x_N}=\frac{\dfrac{-12n}{3n+2m-6}+2}{\dfrac{3(3n-2m+6)}{3n+2m-6}-\dfrac{-4m}{n-2}}$$

分子通分：

$$\frac{-12n+2(3n+2m-6)}{3n+2m-6}=\frac{-6n+4m-12}{3n+2m-6}$$

分母通分：

$$\frac{3(3n-2m+6)(n-2)+4m(3n+2m-6)}{(3n+2m-6)(n-2)}$$

因此

$$k_{MN}=\frac{(-6n+4m-12)(n-2)}{3(3n-2m+6)(n-2)+4m(3n+2m-6)}$$

展开分子：

$$(-6n+4m-12)(n-2)=-6n^2+12n+4mn-8m-12n+24=-6n^2+4mn-8m+24$$

展开分母：

$$3(3n-2m+6)(n-2)+4m(3n+2m-6)$$
$$=3(3n^2-6n-2mn+4m+6n-12)+12mn+8m^2-24m$$
$$=9n^2-6mn+12m-36+12mn+8m^2-24m$$
$$=9n^2+6mn+8m^2-12m-36$$

利用 $(*)$ 式，$m^2=9-\dfrac{9n^2}{4}$，故 $8m^2=72-18n^2$。代入分母：

$$9n^2+6mn+(72-18n^2)-12m-36=-9n^2+6mn-12m+36$$

提取公因子：

$$\text{分子}=-6n^2+4mn-8m+24=2(-3n^2+2mn-4m+12)$$
$$\text{分母}=-9n^2+6mn-12m+36=3(-3n^2+2mn-4m+12)$$

由于 $P$ 在第一象限且不在顶点上，可验证 $-3n^2+2mn-4m+12\neq 0$，故

$$k_{MN}=\frac{2}{3}$$

又 $C(0,-2)$，$D(3,0)$，所以

$$k_{CD}=\frac{0-(-2)}{3-0}=\frac{2}{3}$$

因此 $k_{MN}=k_{CD}$。显然直线 $MN$ 与直线 $CD$ 不重合（$M$ 不在直线 $CD$ 上），故 $MN \parallel CD$。