（10分）如图，D，E分别为 A B C 的边AB，AC上…——2011 高考数学第 22 题答案解析

（Ⅰ）证明：
由题意，$AD, AB$ 是方程 $x^2 - 14x + mn = 0$ 的两个根，根据韦达定理可得：
$$AD \cdot AB = mn$$
又已知 $AE = m, AC = n$，所以：
$$AE \cdot AC = mn$$
从而有 $AD \cdot AB = AE \cdot AC$，即 $\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$。
在 $\triangle ADE$ 和 $\triangle ACB$ 中，
$$ \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}, \quad \angle DAE = \angle CAB $$
所以 $\triangle ADE \sim \triangle ACB$。
由相似三角形对应角相等可得 $\angle ADE = \angle ACB$。
因为 $\angle ADE + \angle BDE = 180^{\circ}$，
所以 $\angle ACB + \angle BDE = 180^{\circ}$。
根据圆内接四边形判定定理（对角互补），$C, B, D, E$ 四点共圆。

（Ⅱ）解：
当 $m=4, n=6$ 时，方程为 $x^2 - 14x + 24 = 0$。
解得 $x_1 = 2, x_2 = 12$。
因为 $D$ 在边 $AB$ 上且不与顶点重合，故 $AD < AB$，所以 $AD = 2, AB = 12$。
此时 $AE = 4, AC = 6$。
因为 $\angle A = 90^{\circ}$，我们可以建立平面直角坐标系，以 $A$ 为原点，$AB$ 所在直线为 $x$ 轴，$AC$ 所在直线为 $y$ 轴。
则各点坐标为：$A(0,0), D(2,0), B(12,0), E(0,4), C(0,6)$。
$C, B, D, E$ 四点共圆，该圆即为四边形 $BCED$ 的外接圆。
圆心 $O$ 必在弦 $DB$ 和弦 $CE$ 的垂直平分线上。
弦 $DB$ 在 $x$ 轴上，端点为 $(2,0)$ 和 $(12,0)$，其中点坐标为 $(7,0)$，垂直平分线方程为 $x = 7$。
弦 $CE$ 在 $y$ 轴上，端点为 $(0,4)$ 和 $(0,6)$，其中点坐标为 $(0,5)$，垂直平分线方程为 $y = 5$。
所以圆心坐标为 $O(7, 5)$。
圆的半径 $R$ 即为圆心 $O$ 到圆上任意一点（如点 $D$）的距离：
$$ R = |OD| = \sqrt{(7-2)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2} $$
故 $C, B, D, E$ 所在圆的半径为 $5\sqrt{2}$。