（12分）（Ⅰ）设函数 f ( x ) = ln ( 1…——2011 高考数学第 22 题答案解析

（Ⅰ）函数定义域为 $(-1, +\infty)$。
对 $f(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{x+2}$ 求导：
$$ f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{2(x+2)-2x}{(x+2)^2} = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(x+2)^2} $$
通分整理得：
$$ f'(x) = \frac{(x+2)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(x+2)^2} = \frac{x^2+4x+4-4-4x}{(1+x)(x+2)^2} = \frac{x^2}{(1+x)(x+2)^2} $$
当 $x > 0$ 时，$x^2 > 0$，$(1+x) > 0$，$(x+2)^2 > 0$，故 $f'(x) > 0$。
所以 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。
又 $f(0) = \ln 1 - 0 = 0$，
所以当 $x > 0$ 时，$f(x) > f(0) = 0$，即 $\ln(1+x) > \frac{2x}{x+2}$。

（Ⅱ）从100张卡片中有放回地抽取20次，总的基本事件数为 $100^{20}$。
若抽到的20个号码互不相同，则相当于从100个号码中取出20个进行排列，有利事件数为 $A_{100}^{20}$。
故概率 $p = \frac{A_{100}^{20}}{100^{20}} = \frac{100 \times 99 \times \cdots \times 81}{100^{20}}$。

**第一步：证明 $p < (\frac{9}{10})^{19}$**
$$ p = \frac{100}{100} \cdot \frac{99}{100} \cdot \frac{98}{100} \cdots \frac{81}{100} = 1 \cdot \prod_{k=1}^{19} \frac{100-k}{100} $$
我们要证 $\prod_{k=1}^{19} \frac{100-k}{100} < (\frac{90}{100})^{19}$，即证 $\prod_{k=1}^{19} (100-k) < 90^{19}$。
观察乘积项 $99, 98, \dots, 81$，共19项。将其首尾配对：
$99 \times 81 = (90+9)(90-9) = 90^2 - 9^2 < 90^2$
$98 \times 82 = (90+8)(90-8) = 90^2 - 8^2 < 90^2$
$\vdots$
$91 \times 89 = (90+1)(90-1) = 90^2 - 1^2 < 90^2$
中间剩余一项为 $90$。
共有9对乘积小于 $90^2$ 的项，以及中间一项 $90$。
故 $99 \times 98 \times \cdots \times 81 = (99 \times 81) \times \cdots \times (91 \times 89) \times 90 < (90^2)^9 \times 90 = 90^{18} \times 90 = 90^{19}$。
两边同除以 $100^{19}$，得：
$$ \frac{99 \times \cdots \times 81}{100^{19}} < \left(\frac{90}{100}\right)^{19} = \left(\frac{9}{10}\right)^{19} $$
因为 $p = \frac{100}{100} \times \frac{99 \times \cdots \times 81}{100^{19}} = \frac{99 \times \cdots \times 81}{100^{19}}$，
所以 $p < (\frac{9}{10})^{19}$。

**第二步：证明 $(\frac{9}{10})^{19} < \frac{1}{e^2}$**
该不等式等价于 $(\frac{10}{9})^{19} > e^2$。
两边取自然对数，即证 $19 \ln(\frac{10}{9}) > 2$，亦即 $\ln(\frac{10}{9}) > \frac{2}{19}$。
由（Ⅰ）知，当 $x > 0$ 时，$\ln(1+x) > \frac{2x}{x+2}$。
令 $x = \frac{1}{9}$，则 $1+x = \frac{10}{9}$，且 $x > 0$ 成立。
代入不等式得：
$$ \ln\left(1+\frac{1}{9}\right) > \frac{2 \times \frac{1}{9}}{\frac{1}{9} + 2} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{19}{9}} = \frac{2}{19} $$
即 $\ln(\frac{10}{9}) > \frac{2}{19}$ 成立。
逆推可得 $(\frac{9}{10})^{19} < e^{-2} = \frac{1}{e^2}$。

综上所述，$p < (\frac{9}{10})^{19} < \frac{1}{e^2}$ 得证。