（本小题满分 12 分） 如图， A B C 和 B C…——2014 高考数学第 18 题答案解析

（I）证明：
在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DBC$ 中，
因为 $AB=BD=2, BC=BC, \angle ABC=\angle DBC=120^{\circ}$，
所以 $\triangle ABC \cong \triangle DBC$，故 $AC=DC$．
因为 $G$ 为 $AD$ 的中点，所以在等腰 $\triangle ADC$ 中，$CG \perp AD$．
同理，在 $\triangle ABD$ 中，由 $AB=BD$ 且 $G$ 为 $AD$ 中点，可得 $BG \perp AD$．
因为 $CG \cap BG = G$，且 $CG, BG \subset$ 平面 $BCG$，
所以 $AD \perp$ 平面 $BCG$．
又因为 $E, F$ 分别为 $AC, DC$ 的中点，所以 $EF$ 为 $\triangle ACD$ 的中位线，即 $EF // AD$．
所以 $EF \perp$ 平面 $BCG$．

（II）解：
过点 $A$ 作 $AO \perp BC$，交 $CB$ 的延长线于点 $O$．
因为平面 $ABC \perp$ 平面 $BCD$，平面 $ABC \cap$ 平面 $BCD = BC$，且 $AO \subset$ 平面 $ABC$，
所以 $AO \perp$ 平面 $BCD$．
在 Rt$\triangle ABO$ 中，$\angle ABO = 180^{\circ} - \angle ABC = 60^{\circ}$，$AB=2$，
所以 $AO = AB \sin 60^{\circ} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$．
因为 $G$ 为 $AD$ 的中点，所以点 $G$ 到平面 $BCD$ 的距离 $h$ 等于点 $A$ 到平面 $BCD$ 距离的一半，
即 $h = \frac{1}{2} AO = \frac{\sqrt{3}}{2}$．
在 $\triangle BCD$ 中，$BC=BD=2, \angle DBC=120^{\circ}$，
所以 $S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} BC \cdot BD \sin 120^{\circ} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$．
故三棱锥 $D-BCG$ 的体积：
$V_{D-BCG} = V_{G-BCD} = \frac{1}{3} S_{\triangle BCD} \cdot h = \frac{1}{3} \times \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}$．