（本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II）小问…——2014 高考数学第 19 题答案解析

（I）证明：
连接 $OB$。
因为底面 $ABCD$ 是菱形，且 $\angle BAD = \frac{\pi}{3}$，所以 $\triangle ABD$ 是等边三角形。
又 $AB=2$，所以 $BD=2$。
因为 $O$ 是菱形中心，所以 $OB = \frac{1}{2}BD = 1$，且 $BD$ 平分 $\angle ABC$，故 $\angle OBM = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} ( \pi - \frac{\pi}{3} ) = \frac{\pi}{3}$。
在 $\triangle OBM$ 中，由余弦定理得：
$OM^2 = OB^2 + BM^2 - 2 OB \cdot BM \cdot \cos \angle OBM = 1^2 + (\frac{1}{2})^2 - 2 \times 1 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$。
因为 $OM^2 + BM^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1 = OB^2$，所以 $\angle OMB = 90^\circ$，即 $OM \perp BC$。
又因为 $PO \perp$ 底面 $ABCD$，$BC \subset$ 平面 $ABCD$，所以 $PO \perp BC$。
因为 $PO \cap OM = O$，$PO, OM \subset$ 平面 $POM$，
所以 $BC \perp$ 平面 $POM$。

（II）解：
由（I）可知 $OA = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$，$OM = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
设 $PO = h$。
因为 $PO \perp$ 底面 $ABCD$，所以 $\triangle POA$ 和 $\triangle POM$ 均为直角三角形。
$PA^2 = PO^2 + OA^2 = h^2 + 3$，
$PM^2 = PO^2 + OM^2 = h^2 + \frac{3}{4}$。
在 $\triangle ABM$ 中，$\angle ABM = \pi - \angle BAD = \frac{2\pi}{3}$。
由余弦定理得：
$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 AB \cdot BM \cdot \cos \frac{2\pi}{3} = 4 + \frac{1}{4} - 2 \times 2 \times \frac{1}{2} \times (-\frac{1}{2}) = \frac{21}{4}$。
因为 $MP \perp AP$，所以 $\triangle APM$ 为直角三角形，即 $PA^2 + PM^2 = AM^2$。
代入得：$(h^2 + 3) + (h^2 + \frac{3}{4}) = \frac{21}{4}$，
解得 $2h^2 = \frac{3}{2}$，即 $h = \frac{\sqrt{3}}{2}$（舍去负值）。
底面四边形 $ABMO$ 的面积：
$S_{ABMO} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle OBM} = \frac{1}{2} OA \cdot OB + \frac{1}{2} OM \cdot BM$
$= \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 1 + \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{5\sqrt{3}}{8}$。
所以四棱锥 $P-ABMO$ 的体积：
$V = \frac{1}{3} S_{ABMO} \cdot PO = \frac{1}{3} \times \frac{5\sqrt{3}}{8} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5}{16}$。