（24）（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲…——2010 高考数学第 24 题答案解析

**证明：**

由均值不等式（AM-GM）可知：
$$ a^2+b^2+c^2 \geqslant 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} = 3(abc)^{\frac{2}{3}} $$
$$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geqslant 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}} = 3(abc)^{-\frac{1}{3}} $$
从而有：
$$ \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2 \geqslant 9(abc)^{-\frac{2}{3}} $$
将上述两式相加，得：
$$ a^2+b^2+c^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2 \geqslant 3(abc)^{\frac{2}{3}} + 9(abc)^{-\frac{2}{3}} $$
令 $t = (abc)^{\frac{2}{3}}$，因为 $a,b,c > 0$，所以 $t > 0$。
对函数 $f(t) = 3t + \frac{9}{t}$ 再次使用均值不等式：
$$ 3t + \frac{9}{t} \geqslant 2\sqrt{3t \cdot \frac{9}{t}} = 2\sqrt{27} = 6\sqrt{3} $$
故原不等式 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^{2} \geq 6 \sqrt{3}$ 成立。

**确定等号成立条件：**

上述推导过程中，等号成立需同时满足以下条件：
1. $a^2=b^2=c^2$，即 $a=b=c$；
2. $\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$，即 $a=b=c$；
3. $3t = \frac{9}{t}$，即 $t^2=3$。

由 $t = (abc)^{\frac{2}{3}}$ 且 $a=b=c$，可得 $t = (a^3)^{\frac{2}{3}} = a^2$。
代入 $t^2=3$，得 $(a^2)^2 = 3$，即 $a^4=3$。
因为 $a>0$，解得 $a = \sqrt[4]{3}$。

综上所述，当且仅当 $a=b=c=\sqrt[4]{3}$ 时，原不等式等号成立。