某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙…——2024 高考数学第 17 题答案解析

2024_全国甲 Paper

2024 National Question 17 Free-response Differentiating
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17. 某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150 件进行检验,数据如下:

<table><tr><td></td><td>优级品</td><td>合格品</td><td>不合格品</td><td>总计</td></tr><tr><td>甲车间</td><td>26</td><td>24</td><td>0</td><td>50</td></tr><tr><td>乙车间</td><td>70</td><td>28</td><td>2</td><td>100</td></tr><tr><td>总计</td><td>96</td><td>52</td><td>2</td><td>150</td></tr></table>

(1) 填写如下列联表:

<table><tr><td></td><td>优级品</td><td>非优级品</td></tr><tr><td>甲车间</td><td></td><td></td></tr><tr><td>乙车间</td><td></td><td></td></tr></table>

能否有 $95\%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有 $99\%$ 的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异?

(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率 $p = 0.5$ ,设 $\overline{p}$ 为升级改造后抽取的 $n$ 件产品的优级品率。如果 $\overline{p} > p + 1.65\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}$ ,则认为该工厂产品的优级品率提高了,根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?( $\sqrt{150} \approx 12.247$ )

附: $K^{2}=\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

<table><tr><td> $P(K^{2} \geq k)$ </td><td>0.050</td><td>0.010</td><td>0.001</td></tr><tr><td>k</td><td>3.841</td><td>6.635</td><td>10.828</td></tr></table>

Answer key

(1) 答案见详解; (2) 答案见详解

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