已知菱形ABCD 的边长为a， A B C = 6 0 ^…——2015 高考数学第 4 题答案解析

在菱形 $ABCD$ 中，$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA}$。
因此，$\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BA}$。

根据向量加法法则，$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$。
代入上式得：
$$ \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BA} = (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}) \cdot \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BA}^2 + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA} $$

已知菱形边长为 $a$，即 $|\overrightarrow{BA}| = |\overrightarrow{BC}| = a$。
又因为 $\angle ABC = 60^{\circ}$，所以 $\overrightarrow{BA}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角为 $60^{\circ}$。

计算各项数值：
1. $\overrightarrow{BA}^2 = |\overrightarrow{BA}|^2 = a^2$
2. $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA} = |\overrightarrow{BC}| |\overrightarrow{BA}| \cos 60^{\circ} = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}a^2$

综上：
$$ \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{CD} = a^2 + \frac{1}{2}a^2 = \frac{3}{2}a^2 $$

故选 D。