（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产…——2013 高考数学第 19 题答案解析

（Ⅰ）设第一次抽取的4件产品中优质品的件数为 $n$。
由题意，每件产品是优质品的概率为 $\frac{1}{2}$，且相互独立，故 $n$ 服从二项分布 $B(4, \frac{1}{2})$。

这批产品通过检验包含两种互斥的情形：
1. 第一次取出4件中恰有3件优质品（$n=3$），且第二次取出的4件全为优质品。
记事件 $A_1$ 为“第一次 $n=3$”，事件 $B_1$ 为“第二次4件全优”。
$P(A_1) = C_4^3 (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{2})^1 = 4 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$。
在 $A_1$ 发生的条件下，进行第二次检验，需再取4件。由于各次抽取相互独立，第二次4件全优的概率为：
$P(B_1 | A_1) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$。
故该情形发生的概率为 $P(A_1 B_1) = P(A_1)P(B_1 | A_1) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{16} = \frac{1}{64}$。

2. 第一次取出4件全为优质品（$n=4$），且第二次取出的1件为优质品。
记事件 $A_2$ 为“第一次 $n=4$”，事件 $B_2$ 为“第二次1件优”。
$P(A_2) = C_4^4 (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$。
在 $A_2$ 发生的条件下，进行第二次检验，需再取1件。该件为优质品的概率为：
$P(B_2 | A_2) = \frac{1}{2}$。
故该情形发生的概率为 $P(A_2 B_2) = P(A_2)P(B_2 | A_2) = \frac{1}{16} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{32}$。

综上，这批产品通过检验的概率 $P$ 为：
$$ P = P(A_1 B_1) + P(A_2 B_2) = \frac{1}{64} + \frac{1}{32} = \frac{1}{64} + \frac{2}{64} = \frac{3}{64} $$

（Ⅱ）检验费用 $X$ 取决于抽取的产品总数。
第一次固定抽取4件，费用为 $4 \times 100 = 400$ 元。
根据规则：
- 若 $n < 3$（即 $n=0,1,2$），不再进行第二次检验，总费用 $X = 400$。
- 若 $n = 3$，需再进行第二次检验（抽取4件），总费用 $X = 400 + 4 \times 100 = 800$。
- 若 $n = 4$，需再进行第二次检验（抽取1件），总费用 $X = 400 + 1 \times 100 = 500$。

计算各取值的概率：
1. $P(X=800)$ 对应 $n=3$ 的情况：
$$ P(X=800) = P(n=3) = C_4^3 (\frac{1}{2})^4 = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $$
2. $P(X=500)$ 对应 $n=4$ 的情况：
$$ P(X=500) = P(n=4) = C_4^4 (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16} $$
3. $P(X=400)$ 对应 $n < 3$ 的情况：
$$ P(X=400) = 1 - P(X=800) - P(X=500) = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{16} = \frac{16-4-1}{16} = \frac{11}{16} $$
（或者计算：$P(n=0)+P(n=1)+P(n=2) = \frac{1+4+6}{16} = \frac{11}{16}$）

$X$ 的分布列为：

数学期望 $E(X)$ 为：
$$ E(X) = 400 \times \frac{11}{16} + 500 \times \frac{1}{16} + 800 \times \frac{1}{4} $$
$$ E(X) = \frac{4400}{16} + \frac{500}{16} + 200 $$
$$ E(X) = \frac{4900}{16} + 200 = 306.25 + 200 = 506.25 $$