（本小题共13分） 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在…——2009 高考数学第 17 题答案解析

（Ⅰ）记“在第 $i$ 个路口遇到红灯”为事件 $R_i$，“在第 $i$ 个路口未遇到红灯”为事件 $\bar{R}_i$。
由题意知，各路口是否遇到红灯相互独立，且 $P(R_i) = \frac{1}{3}$，$P(\bar{R}_i) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$。

“在第三个路口时首次遇到红灯”意味着前两个路口均未遇到红灯，且第三个路口遇到了红灯。
故所求概率为：
$$ P = P(\bar{R}_1) \cdot P(\bar{R}_2) \cdot P(R_3) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27} $$

（Ⅱ）设该学生在上学路上遇到红灯的次数为随机变量 $X$。
因为每次遇到红灯停留 2 min，若总停留时间至多是 4 min，则遇到红灯的次数 $X$ 必须满足 $2X \le 4$，即 $X \le 2$。
由于经过 4 个路口，$X$ 的可能取值为 $0, 1, 2, 3, 4$，且 $X$ 服从二项分布 $B(4, \frac{1}{3})$。

我们需要计算 $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$。

1. 遇到 0 次红灯的概率：
$$ P(X=0) = C_4^0 \left(\frac{1}{3}\right)^0 \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 1 \times 1 \times \frac{16}{81} = \frac{16}{81} $$

2. 遇到 1 次红灯的概率：
$$ P(X=1) = C_4^1 \left(\frac{1}{3}\right)^1 \left(\frac{2}{3}\right)^3 = 4 \times \frac{1}{3} \times \frac{8}{27} = \frac{32}{81} $$

3. 遇到 2 次红灯的概率：
$$ P(X=2) = C_4^2 \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 6 \times \frac{1}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{81} $$

故总停留时间至多是 4 min 的概率为：
$$ P(X \le 2) = \frac{16}{81} + \frac{32}{81} + \frac{24}{81} = \frac{72}{81} = \frac{8}{9} $$