（本小题满分12分） 已知点 为抛物线F E : y ^…——2015 高考数学第 19 题答案解析

（Ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离等于其到准线的距离。
抛物线 $E: y^2 = 2px (p>0)$ 的准线方程为 $x = -\frac{p}{2}$。
因为点 $A(2, m)$ 在抛物线上，且 $|AF|=3$，
所以点 $A$ 到准线的距离为 $2 - (-\frac{p}{2}) = 2 + \frac{p}{2}$。
由题意得 $2 + \frac{p}{2} = 3$，解得 $p=2$。
故抛物线 $E$ 的方程为 $y^2 = 4x$。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为 $y^2=4x$，焦点 $F(1,0)$。
将点 $A(2, m)$ 代入抛物线方程，得 $m^2 = 8$，解得 $m = \pm 2\sqrt{2}$。
不妨设 $A(2, 2\sqrt{2})$（若取负值，由对称性结论相同）。
直线 $AF$ 过点 $A(2, 2\sqrt{2})$ 和 $F(1, 0)$，其斜率 $k_{AF} = \frac{2\sqrt{2}-0}{2-1} = 2\sqrt{2}$。
直线 $AF$ 的方程为 $y = 2\sqrt{2}(x-1)$。

联立直线 $AF$ 与抛物线方程：
$\begin{cases} y = 2\sqrt{2}(x-1) \\ y^2 = 4x \end{cases}$
消去 $y$ 得 $[2\sqrt{2}(x-1)]^2 = 4x$，即 $8(x^2 - 2x + 1) = 4x$，
化简得 $2x^2 - 5x + 2 = 0$，解得 $x=2$ 或 $x=\frac{1}{2}$。
当 $x=2$ 时，$y=2\sqrt{2}$，对应点 $A$；
当 $x=\frac{1}{2}$ 时，$y = 2\sqrt{2}(\frac{1}{2}-1) = -\sqrt{2}$，对应点 $B(\frac{1}{2}, -\sqrt{2})$。

已知点 $G(-1, 0)$，计算直线 $GA$ 与 $GB$ 的斜率：
$k_{GA} = \frac{2\sqrt{2} - 0}{2 - (-1)} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$，
$k_{GB} = \frac{-\sqrt{2} - 0}{\frac{1}{2} - (-1)} = \frac{-\sqrt{2}}{\frac{3}{2}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
可见 $k_{GA} + k_{GB} = 0$，即 $k_{GA} = -k_{GB}$。
这表明直线 $GA$ 与 $GB$ 关于 $x$ 轴对称（倾斜角互补），而点 $F(1,0)$ 在 $x$ 轴上。
根据角平分线的性质，点 $F$ 到直线 $GA$ 的距离等于点 $F$ 到直线 $GB$ 的距离。
设以 $F$ 为圆心且与直线 $GA$ 相切的圆的半径为 $r$，则 $r$ 等于点 $F$ 到直线 $GA$ 的距离。
因为点 $F$ 到直线 $GB$ 的距离也等于 $r$，所以该圆必与直线 $GB$ 相切。