在二项式 ( 2 + x ) ^ 9 的展开式中，常数项是…——2019 高考数学第 13 题答案解析

二项式 $(\sqrt{2} + x)^9$ 的展开式的通项公式为：
$$T_{r+1} = C_9^r (\sqrt{2})^{9-r} x^r, \quad r \in \{0, 1, 2, \dots, 9\}$$

**第一问：求常数项**
常数项即 $x$ 的指数为 $0$ 的项，故取 $r=0$。
代入通项公式得：
$$T_1 = C_9^0 (\sqrt{2})^{9-0} x^0 = 1 \cdot (\sqrt{2})^9 \cdot 1$$
计算 $(\sqrt{2})^9$：
$$(\sqrt{2})^9 = (\sqrt{2})^8 \cdot \sqrt{2} = (2^{1/2})^8 \cdot \sqrt{2} = 2^4 \cdot \sqrt{2} = 16\sqrt{2}$$
故常数项为 $16\sqrt{2}$。

**第二问：求系数为有理数的项的个数**
该项的系数为 $C_9^r (\sqrt{2})^{9-r}$。
因为组合数 $C_9^r$ 恒为整数（即有理数），所以只需考虑 $(\sqrt{2})^{9-r}$ 是否为有理数。
令 $k = 9-r$，则 $(\sqrt{2})^k = 2^{k/2}$。
要使 $2^{k/2}$ 为有理数，指数 $\frac{k}{2}$ 必须为整数，即 $k$ 必须为偶数。
因为 $r \in \{0, 1, \dots, 9\}$，所以 $k = 9-r$ 的取值范围是 $\{0, 1, \dots, 9\}$。
在 $0$ 到 $9$ 中，偶数有 $0, 2, 4, 6, 8$，共 $5$ 个值。
对应的 $r$ 值为：
- 当 $k=0$ 时，$r=9$
- 当 $k=2$ 时，$r=7$
- 当 $k=4$ 时，$r=5$
- 当 $k=6$ 时，$r=3$
- 当 $k=8$ 时，$r=1$
这 $5$ 个 $r$ 值均在定义域内，且互不相同，对应 $5$ 个不同的项。
故系数为有理数的项的个数是 $5$。