（14分）已知函数 f ( x ) = sin ^ 2 x…——2017 高考数学第 18 题答案解析

先化简 $f(x)$：

$$f(x) = \sin^2 x - \cos^2 x - 2\sqrt{3}\sin x\cos x$$

由二倍角公式 $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$，$\sin 2x = 2\sin x\cos x$，得

$$f(x) = -\cos 2x - \sqrt{3}\sin 2x$$

利用辅助角公式合并：

$$f(x) = -2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x + \frac{1}{2}\cos 2x\right) = -2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$$

**（Ⅰ）** 代入 $x = \dfrac{2\pi}{3}$：

$$f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -2\sin\left(2 \times \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = -2\sin\left(\frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = -2\sin\frac{3\pi}{2} = -2 \times (-1) = 2$$

**（Ⅱ）** 由 $f(x) = -2\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)$，其中 $\omega = 2$，故最小正周期

$$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$$

求单调递增区间：由于外层有负号，$f(x)$ 递增等价于 $\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)$ 递减，即

$$\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leqslant 2x + \frac{\pi}{6} \leqslant \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

各部分减去 $\dfrac{\pi}{6}$：

$$\frac{\pi}{3} + 2k\pi \leqslant 2x \leqslant \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$$

除以 $2$：

$$\frac{\pi}{6} + k\pi \leqslant x \leqslant \frac{2\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

将区间左端点平移一个周期（减 $\pi$），可等价写为

$$\left[-\frac{5\pi}{6} + k\pi,\; -\frac{\pi}{3} + k\pi\right], \quad k \in \mathbb{Z}$$

因此 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[-\dfrac{5\pi}{6}+k\pi,\,-\dfrac{\pi}{3}+k\pi\right]$，$k\in\mathbb{Z}$。