（14分）已知椭圆C： x ^ 2 + 3 y ^ 2 =…——2015 高考数学第 20 题答案解析

（1）将椭圆 $C$ 的方程 $x^2 + 3y^2 = 3$ 化为标准方程：
$$ \frac{x^2}{3} + y^2 = 1 $$
由此可知 $a^2 = 3$，$b^2 = 1$，则 $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{3 - 1} = \sqrt{2}$。
所以椭圆 $C$ 的离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$。

（2）因为直线 $AB$ 过点 $D(1, 0)$ 且垂直于 $x$ 轴，所以直线 $AB$ 的方程为 $x = 1$。
将 $x = 1$ 代入椭圆方程 $\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$，得 $\frac{1}{3} + y^2 = 1$，解得 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$。
不妨设 $A(1, \frac{\sqrt{6}}{3})$，$B(1, -\frac{\sqrt{6}}{3})$（若 $A, B$ 互换，结果相同）。
已知 $E(2, 1)$，则直线 $AE$ 的斜率 $k_{AE} = \frac{1 - \frac{\sqrt{6}}{3}}{2 - 1} = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$。
直线 $AE$ 的方程为 $y - 1 = (1 - \frac{\sqrt{6}}{3})(x - 2)$。
令 $x = 3$，得 $y_M - 1 = (1 - \frac{\sqrt{6}}{3})(3 - 2) = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$，
所以 $y_M = 2 - \frac{\sqrt{6}}{3}$，即点 $M$ 的坐标为 $(3, 2 - \frac{\sqrt{6}}{3})$。
此时直线 $BM$ 的斜率 $k_{BM} = \frac{y_M - y_B}{x_M - x_B} = \frac{(2 - \frac{\sqrt{6}}{3}) - (-\frac{\sqrt{6}}{3})}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1$。

（3）直线 $BM$ 与直线 $DE$ 平行。理由如下：
首先计算直线 $DE$ 的斜率：$k_{DE} = \frac{1 - 0}{2 - 1} = 1$。
下面分两种情况讨论直线 $BM$ 的斜率：
① 当直线 $AB$ 的斜率不存在时，由（2）可知 $k_{BM} = 1$，此时 $k_{BM} = k_{DE}$，故 $BM // DE$。
② 当直线 $AB$ 的斜率存在时，设直线 $AB$ 的方程为 $y = k(x - 1)$ ($k \neq 1$，因直线不过 $E$ 点)。
设 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$。
联立直线与椭圆方程：
$$ \begin{cases} y = k(x - 1) \\ x^2 + 3y^2 = 3 \end{cases} $$
消去 $y$ 整理得：$(1 + 3k^2)x^2 - 6k^2x + 3k^2 - 3 = 0$。
由韦达定理可得：
$$ x_1 + x_2 = \frac{6k^2}{1 + 3k^2}, \quad x_1 x_2 = \frac{3k^2 - 3}{1 + 3k^2} $$
直线 $AE$ 的方程为 $y - 1 = \frac{y_1 - 1}{x_1 - 2}(x - 2)$。
令 $x = 3$，得点 $M$ 的纵坐标 $y_M = 1 + \frac{y_1 - 1}{x_1 - 2} = \frac{x_1 - 2 + y_1 - 1}{x_1 - 2} = \frac{x_1 + y_1 - 3}{x_1 - 2}$。
所以 $M(3, \frac{x_1 + y_1 - 3}{x_1 - 2})$。
计算直线 $BM$ 的斜率 $k_{BM}$：
$$ k_{BM} = \frac{y_M - y_2}{3 - x_2} = \frac{\frac{x_1 + y_1 - 3}{x_1 - 2} - y_2}{3 - x_2} = \frac{x_1 + y_1 - 3 - y_2(x_1 - 2)}{(3 - x_2)(x_1 - 2)} $$
将 $y_1 = k(x_1 - 1)$，$y_2 = k(x_2 - 1)$ 代入分子：
$$ \text{分子} = x_1 + k(x_1 - 1) - 3 - k(x_2 - 1)(x_1 - 2) $$
$$ = x_1 + kx_1 - k - 3 - k[x_1 x_2 - 2x_2 - x_1 + 2] $$
$$ = (1 + k)x_1 - k - 3 - k x_1 x_2 + 2k x_2 + k x_1 - 2k $$
$$ = (1 + 2k)x_1 + 2k x_2 - k x_1 x_2 - 3k - 3 $$
我们要判断 $k_{BM}$ 是否等于 1，即判断 $\text{分子} - \text{分母}$ 是否为 0。
$$ \text{分母} = (3 - x_2)(x_1 - 2) = 3x_1 - 6 - x_1 x_2 + 2x_2 $$
$$ \text{分子} - \text{分母} = [(1 + 2k)x_1 + 2k x_2 - k x_1 x_2 - 3k - 3] - [3x_1 - 6 - x_1 x_2 + 2x_2] $$
$$ = (2k - 2)x_1 + (2k - 2)x_2 + (1 - k)x_1 x_2 - 3k + 3 $$
$$ = (k - 1)[2(x_1 + x_2) - x_1 x_2 - 3] $$
将韦达定理的结果代入括号内：
$$ 2(x_1 + x_2) - x_1 x_2 - 3 = 2 \cdot \frac{6k^2}{1 + 3k^2} - \frac{3k^2 - 3}{1 + 3k^2} - 3 $$
$$ = \frac{12k^2 - (3k^2 - 3) - 3(1 + 3k^2)}{1 + 3k^2} $$
$$ = \frac{12k^2 - 3k^2 + 3 - 3 - 9k^2}{1 + 3k^2} = \frac{0}{1 + 3k^2} = 0 $$
所以 $\text{分子} - \text{分母} = 0$，即 $k_{BM} = 1$。
综上所述，无论直线 $AB$ 斜率是否存在，都有 $k_{BM} = 1$。
又因为 $k_{DE} = 1$，且点 $B$ 不在直线 $DE$ 上（若 $B$ 在 $DE$ 上，则 $A, B, D, E$ 共线，与题意矛盾），
所以直线 $BM$ 与直线 $DE$ 平行。